Hai góc của một tam giác có các góc là (2 pi) / 3 và (pi) / 4. Nếu một cạnh của tam giác có độ dài bằng 4 thì chu vi của tam giác dài nhất có thể là bao nhiêu?

Câu trả lời:

# P_max = 28,31 # các đơn vị

Giải trình:

Bài toán cho bạn hai trong ba góc trong một tam giác tùy ý. Vì tổng các góc trong một tam giác phải cộng tới 180 độ, hoặc #số Pi# radian, chúng ta có thể tìm thấy góc thứ ba:

# (2pi) / 3 + pi / 4 + x = pi #

# x = pi- (2pi) / 3-pi / 4 #

# x = (12pi) / 12- (8pi) / 12- (3pi) / 12 #

# x = pi / 12 #

Hãy vẽ hình tam giác:

Vấn đề nói rằng một trong các cạnh của tam giác có độ dài bằng 4, nhưng nó không chỉ định cạnh nào. Tuy nhiên, trong bất kỳ tam giác đã cho nào, đúng là nhỏ nhất bên sẽ đối diện với góc nhỏ nhất.

Nếu chúng ta muốn tối đa hóa chu vi, chúng ta nên làm cho cạnh có chiều dài 4 cạnh đối diện với góc nhỏ nhất. Vì hai bên còn lại sẽ lớn hơn 4, nên nó đảm bảo rằng chúng tôi sẽ tối đa hóa chu vi. Do đó, ra tam giác trở thành:

Cuối cùng, chúng ta có thể sử dụng luật của tội lỗi để tìm độ dài của hai cạnh còn lại:

#sin (a) / A = sin (b) / B = sin (c) / C #

Cắm vào, chúng tôi nhận được:

#sin (pi / 12) / 4 = sin (pi / 4) / x = sin ((2pi) / 3) / y #

Giải x và y ta được:

# x = 10,93 # và # y = 13,38 #

Do đó, chu vi tối đa là:

# P_max = 4 + 10,93 + 13,38 #

# P_max = 28,31 #

Chú thích: Vì vấn đề không chỉ định đơn vị độ dài trên tam giác, chỉ cần sử dụng "đơn vị".