Sao Hỏa có nhiệt độ bề mặt trung bình khoảng 200K. Sao Diêm Vương có nhiệt độ bề mặt trung bình khoảng 40K. Hành tinh nào phát ra nhiều năng lượng trên một mét vuông diện tích bề mặt mỗi giây? Theo hệ số bao nhiêu?

Câu trả lời:

Sao Hỏa phát ra #625# năng lượng gấp nhiều lần trên một đơn vị diện tích bề mặt so với Sao Diêm Vương.

Giải trình:

Rõ ràng là một vật nóng hơn sẽ phát ra nhiều bức xạ vật đen hơn. Do đó, chúng ta đã biết rằng Sao Hỏa sẽ phát ra nhiều năng lượng hơn Sao Diêm Vương. Câu hỏi duy nhất là bao nhiêu.

Vấn đề này đòi hỏi phải đánh giá năng lượng của bức xạ vật thể đen phát ra từ cả hai hành tinh. Năng lượng này được mô tả như là một hàm của nhiệt độ và tần số được phát ra:

#E (nu, T) = (2pi ^ 2 nu) / c (h nu) / (e ^ ((hnu) / (kT)) - 1) #

Tích hợp trên tần số cho tổng công suất trên một đơn vị diện tích là một hàm của nhiệt độ:

# int_0 ^ infty E (nu, T) = (pi ^ 2c (kT) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) #

(lưu ý rằng phương trình trên sử dụng # barh #, hằng số Planck giảm, thay vì # h #. Rất khó đọc theo ký hiệu của Socratic)

Việc giải quyết tỷ lệ giữa hai người, sau đó, kết quả cực kỳ đơn giản. Nếu # T_p # là nhiệt độ của Sao Diêm Vương và # T_m # là nhiệt độ của sao Hỏa # a # có thể được tính bằng:

# (pi ^ 2c (kT_m) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) = a (pi ^ 2c (kT_p) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) #

#celon (pi ^ 2ck ^ 4) / hủy (60 (barhc) ^ 3) T_m ^ 4 = acelon (pi ^ 2ck ^ 4) / hủy (60 (barhc) ^ 3) T_p ^ 4 #

# (T_m / T_p) ^ 4 = a = (200/40) ^ 4 = 5 ^ 4 = 625 # gấp nhiều lần