Phản kháng của 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 là gì?

Câu trả lời:

# 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #

Giải trình:

Vì vậy, ở đây chúng ta có tích phân:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

Và hình thức đối ứng bậc hai dường như gợi ý rằng sự thay thế lượng giác sẽ hoạt động ở đây. Vì vậy, trước tiên hãy hoàn thành hình vuông để có được:

# x ^ 2-2x + 2 = (x-1) ^ 2 + 1 #

Sau đó áp dụng thay thế #u = x-1 # để loại bỏ tuyến tính:

# (du) / dx = 1 #

#rArr du = dx #

Vì vậy, chúng ta có thể thay đổi các biến một cách an toàn mà không có tác dụng phụ không mong muốn:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = int 1 / ((x-1) ^ 2 +1) ^ 2 dx #

# - = int 1 / (u ^ 2 + 1) ^ 2 du #

Bây giờ, đây là hình thức lý tưởng để thực hiện thay thế lượng giác; # u ^ 2 + 1 # cho thấy bản sắc Pythagore # 1 + tan ^ 2theta = giây ^ 2theta #, vì vậy chúng tôi áp dụng thay thế #u = tantheta # để đơn giản hóa mẫu số:

# (du) / (d theta) = giây ^ 2 theta #

#rArr du = giây ^ 2 theta d theta #

Vì vậy, tích phân trở thành:

#int 1 / (giây ^ 2 theta) ^ 2 * giây ^ 2 theta d theta #

# = int 1 / (giây ^ 2 theta) d theta #

# - = int cos ^ 2 theta d theta #

Bây giờ, chúng tôi sử dụng công thức hai góc cho # cos # để làm cho việc chống đối này trở nên dễ quản lý hơn:

#cos (2theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 #

#hArr cos ^ 2 theta = 1/2 (cos (2 theta) + 1) #

Sau đó đặt nó vào tích phân:

# 1/2 int cos (2 theta) + 1 d theta #

# = 1/2 (theta + 1/2 sin (2 theta)) + c # (và mở lại điều này với công thức hai góc cho #tội#)

# = 1/2 theta + 1/2sinthetacostheta + c #

Hiện nay, # x-1 = u = tan theta #

#rArr theta = arctan (x-1) #

# 1 + (x-1) ^ 2 = giây ^ 2 theta #

#rArr cos theta = 1 / sqrt (x ^ 2 - 2x +2) #

#sin theta = tan theta * cos theta #

#rArr sin theta = (x-1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 2) #

#:. sintheta * costheta = (x-1) / (x ^ 2-2x + 2) #

Cuối cùng, đi đến điểm:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #