Làm thế nào để chứng minh rằng chuỗi là hội tụ?

Câu trả lời:

Hội tụ bằng thử nghiệm so sánh trực tiếp.

Giải trình:

Chúng tôi có thể sử dụng Kiểm tra so sánh trực tiếp, cho đến nay chúng tôi có

#sum_ (n = 1) ^ oocos (1 / k) / (9k ^ 2) #, IE, loạt bắt đầu tại một.

Để sử dụng Kiểm tra so sánh trực tiếp, chúng tôi phải chứng minh rằng # a_k = cos (1 / k) / (9k ^ 2) # là tích cực trên # 1, oo) #.

Đầu tiên, lưu ý rằng trên khoảng # 1, oo), cos (1 / k) # tích cực. Đối với các giá trị của #x # cosx # nằm trong góc phần tư thứ nhất (và do đó là dương). Tốt cho #k> = 1, 1 / k vì thế, #cos (1 / k) # thực sự là tích cực.

Hơn nữa, chúng ta có thể nói #cos (1 / k) <= 1 #, như #lim_ (k-> oo) cos (1 / k) = cos (0) = 1 #.

Sau đó, chúng ta có thể định nghĩa một chuỗi mới

# b_k = 1 / (9k ^ 2)> = a_k # cho tất cả # k. #

Tốt, #sum_ (k = 1) ^ oo1 / (9k ^ 2) = 1/9sum_ (k = 1) ^ oo1 / k ^ 2 #

Chúng tôi biết điều này hội tụ bởi # p- #loạt thử nghiệm, nó ở dạng # sum1 / k ^ p # Ở đâu # p = 2> 1 #.

Sau đó, vì chuỗi lớn hơn hội tụ, do đó, chuỗi phải nhỏ hơn.

Câu trả lời:

Nó hội tụ bằng thử nghiệm so sánh trực tiếp (xem bên dưới để biết chi tiết).

Giải trình:

Nhận ra rằng phạm vi của cosin là -1,1. Kiểm tra biểu đồ của #cos (1 / x) #:

đồ thị {cos (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Như bạn thấy, tối đa giá trị này sẽ đạt được sẽ là 1. Vì chúng ta chỉ đang cố gắng chứng minh sự hội tụ ở đây, hãy đặt tử số thành 1, để lại:

# tổng1 / (9k ^ 2) #

Bây giờ, điều này trở thành một vấn đề kiểm tra so sánh trực tiếp rất đơn giản. Nhớ lại những gì kiểm tra so sánh trực tiếp làm:

Xem xét một loạt tùy ý # a_n # (chúng tôi không biết nếu nó hội tụ / phân kỳ) và một chuỗi mà chúng tôi biết sự hội tụ / phân kỳ, # b_n #:

Nếu #b_n> a_n # và # b_n # hội tụ, sau đó # a_n # cũng hội tụ.

Nếu #b_n <a_n # và # b_n # phân kỳ, sau đó # a_n # cũng phân kỳ.

Chúng ta có thể so sánh chức năng này với #b_n = 1 / k ^ 2 #. Chúng tôi có thể làm điều này bởi vì chúng tôi biết nó hội tụ (vì kiểm tra p).

Vì vậy kể từ # 1 / k ^ 2> 1 / (9k ^ 2) #và # 1 / k ^ 2 # hội tụ, chúng ta có thể nói rằng chuỗi hội tụ

Nhưng, chờ đã, chúng tôi chỉ chứng minh rằng chuỗi này hội tụ khi tử số = 1. Còn tất cả các giá trị khác #cos (1 / k) # có thể lấy? Vâng, hãy nhớ rằng 1 là tối đa giá trị mà tử số có thể lấy. Vì vậy, vì chúng tôi đã chứng minh rằng điều này hội tụ, chúng tôi đã gián tiếp chứng minh rằng chuỗi này đã hội tụ cho bất kỳ giá trị nào trong tử số.

Mong rằng đã giúp:)

Sử dụng định nghĩa về hội tụ, làm thế nào để bạn chứng minh rằng chuỗi {5+ (1 / n)} hội tụ từ n = 1 đến vô cùng?

Đặt: a_n = 5 + 1 / n sau đó với mọi m, n trong NN với n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) là n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n và dưới dạng 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Cho bất kỳ số thực epsilon> 0, chọn số nguyên N> 1 / epsilon. Đối với mọi số nguyên m, n> N, chúng ta có: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon chứng minh điều kiện Cauchy cho sự hội tụ của một chuỗi.

Sử dụng định nghĩa về hội tụ, làm thế nào để bạn chứng minh rằng chuỗi {2 ^ -n} hội tụ từ n = 1 đến vô cùng?

Sử dụng các thuộc tính của hàm số mũ để xác định N, chẳng hạn như | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon cho mọi m, n> N Định nghĩa về hội tụ nói rằng {a_n} hội tụ nếu: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon Vì vậy, đã cho epsilon> 0 lấy N> log_2 (1 / epsilon) và m, n> N với m <n Như m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 vì vậy | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (mn)) Bây giờ vì 2 ^ x luôn luôn dương, (1- 2 ^ (mn)) <1, vì vậy 2 ^ (- m

Sử dụng định nghĩa hội tụ, làm thế nào để bạn chứng minh rằng chuỗi lim 1 / (6n ^ 2 + 1) = 0 hội tụ?

Cho bất kỳ số epsilon> 0 chọn M> 1 / sqrt (6epsilon), với M tính bằng NN. Khi đó, với n> = M ta có: 6n ^ 2 + 1> 6n ^ 2> 6M ^ 2> = 6 / (6epsilon) = 1 / epsilon và vì vậy: n> = M => 1 / (6n ^ 2 + 1) <epsilon chứng minh giới hạn.