Sử dụng định nghĩa về hội tụ, làm thế nào để bạn chứng minh rằng chuỗi {5+ (1 / n)} hội tụ từ n = 1 đến vô cùng?

Để cho:

#a_n = 5 + 1 / n #

sau đó cho bất kỳ # m, n trong NN # với #n> m #:

#abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) #

#abs (a_m-a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) #

#abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) #

như #n> m => 1 / n <1 / m #:

#abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n #

và như # 1 / n> 0 #:

#abs (a_m-a_n) <1 / m #.

Cho bất kỳ số thực #epsilon> 0 #, chọn một số nguyên #N> 1 / epsilon #.

Đối với bất kỳ số nguyên # m, n> N # chúng ta có:

#abs (a_m-a_n) <1 / N #

#abs (a_m-a_n) <epsilon #

điều này chứng tỏ điều kiện của Cauchy cho sự hội tụ của một chuỗi.