Sử dụng định nghĩa về hội tụ, làm thế nào để bạn chứng minh rằng chuỗi {2 ^ -n} hội tụ từ n = 1 đến vô cùng?

Câu trả lời:

Sử dụng các thuộc tính của hàm số mũ để xác định N, chẳng hạn như # | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon # Cho mọi # m, n> N #

Giải trình:

Định nghĩa của sự hội tụ nói rằng # {a_n} # hội tụ nếu:

#AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon #

Vì vậy, được đưa ra #epsilon> 0 # lấy #N> log_2 (1 / epsilon) # và # m, n> N # với #m <n #

Như #m <n #, # (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 # vì thế # | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (m-n)) #

Bây giờ là # 2 ^ x # luôn luôn tích cực, # (1- 2 ^ (m-n)) <1 #, vì thế

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) #

Và như # 2 ^ (- x) # đang giảm nghiêm ngặt và #m> N> log_2 (1 / epsilon) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) <2 ^ (- N) <2 ^ (- log_2 (1 / epsilon) #

Nhưng:

# 2 ^ (- log_2 (1 / epsilon)) = 2 ^ (log_2 (epsilon)) = epsilon #

Vì thế:

# | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | <epsilon #

Q.E.D.