Làm cách nào để tích hợp sqrt (x ^ 2 + 4x) dx?

Câu trả lời:

#int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #

Giải trình:

Vì nó dễ dàng hơn để đối phó với chỉ một # x # dưới một căn bậc hai, chúng ta hoàn thành hình vuông:

# x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2 + k #

# x ^ 2 + 4x = x ^ 2 + 4x + 4 + k #

# k = -4 #

# x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2-4 #

#int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx #

Bây giờ chúng ta cần phải thay thế lượng giác. Tôi sẽ sử dụng các hàm hyperbolic (vì tích phân secant thường không đẹp lắm). Chúng tôi muốn sử dụng danh tính sau:

# cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #

Để làm điều này, chúng tôi muốn # (x + 2) ^ 2 = 4cosh ^ 2 (theta) #. Chúng ta có thể giải quyết cho # x # để có được sự thay thế chúng ta cần:

# x + 2 = 2cosh (theta) #

# x = 2cosh (theta) -2 #

Hòa nhập với # theta #, chúng ta phải nhân với đạo hàm của # x # đối với # theta #:

# dx / (d theta) = 2sinh (theta) #

#int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx = int sqrt ((2cosh (theta)) ^ 2-4) * 2sinh (theta) d theta = #

# = 2int sqrt (4cosh ^ 2 (theta) -4) * sinh (theta) d theta = 2int sqrt (4 (cosh ^ 2 (theta) -1)) * sinh (theta) d theta = #

# = 2 * sqrt (4) int sqrt (cosh ^ 2 (theta) -1) * sinh (theta) d theta = #

Bây giờ chúng ta có thể sử dụng danh tính # cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #:

# = 4int sqrt (sinh ^ 2 (theta)) * sinh (theta) d theta = 4int sinh ^ 2 (theta) d theta #

Bây giờ chúng tôi sử dụng danh tính:

# sinh ^ 2 (theta) = 1/2 (cosh (2theta) -1) #

# 4 / 2int cosh (2theta) -1 d theta = int 2cosh (2theta) d theta-2theta = #

Chúng tôi có thể thay thế u rõ ràng cho # 2cosh (2theta) #Nhưng điều khá rõ ràng là câu trả lời là #sinh (2theta) #:

# = sinh (2theta) -2theta + C #

Bây giờ chúng ta cần hoàn tác thay thế. Chúng ta có thể giải quyết cho # theta # để có được:

# theta = cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) #

Điều này mang lại:

#sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #