Ba thanh mỗi khối lượng M và chiều dài L, được nối với nhau để tạo thành một tam giác đều. Thời điểm quán tính của một hệ về một Trục đi qua tâm khối lượng của nó và vuông góc với mặt phẳng của tam giác là gì?

Câu trả lời:

# 1/2 ML ^ 2 #

Giải trình:

Mô men quán tính của một thanh đơn về một trục đi qua tâm của nó và vuông góc với nó là

# 1/12 ML ^ 2 #

Mỗi cạnh của tam giác đều về một trục đi qua tâm của tam giác và vuông góc với mặt phẳng của nó là

# 1 / 12ML ^ 2 + M (L / (2sqrt3)) ^ 2 = 1/6 ML ^ 2 #

(theo định lý trục song song).

Thời điểm quán tính của tam giác về trục này là

# 3 lần 1/6 ML ^ 2 = 1/2 ML ^ 2 #

Giả sử thanh là mỏng, vị trí trung tâm khối lượng của mỗi thanh nằm ở trung tâm của thanh. Khi các thanh tạo thành một tam giác đều, tâm khối lượng của hệ sẽ nằm ở tâm của tam giác.

Để cho # d # là khoảng cách của centroid từ bất kỳ bên nào.

# d / (L / 2) = tan30 #

# => d = L / 2tan30 #

# => d = L / (2sqrt3) # …..(1)

Mô men quán tính của một thanh đơn về một trục đi qua tâm vuông góc với mặt phẳng của tam giác bằng cách sử dụng trục song song là

#I_ "que" = I_ "cm" + Md ^ 2 #

Có ba thanh được đặt tương tự nhau, do đó tổng mô men quán tính của ba thanh sẽ là

#I_ "hệ thống" = 3 (I_ "cm" + Md ^ 2) #

# => I_ "hệ thống" = 3I_ "cm" + 3Md ^ 2 # …….(2)

Thuật ngữ thứ hai sử dụng (1) là

# 3Md ^ 2 = 3M (L / (2sqrt3)) ^ 2 #

# => 3Md ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2 # …..(3)

Khi mô men quán tính của một thanh về tâm khối lượng của nó là

#I_ "cm" = 1 / 12ML ^ 2 #

Học kỳ đầu tiên trong (2) trở thành

# 3I_ "cm" = 3xx1 / 12ML ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2 # ….(4)

Sử dụng (3) và (4), phương trình (2) trở thành

#I_ "hệ thống" = 1 / 4ML ^ 2 + 1 / 4ML ^ 2 = 1 / 2ML ^ 2 kgm ^ 2 #