Được
# S_n = n ^ 2 + 20n + 12, #
# "trong đó" n = + ve "số nguyên" #
Biểu thức đã cho có thể được sắp xếp theo các cách khác nhau liên quan đến một số nguyên hoàn hảo. Chỉ có 12 cách sắp xếp được hiển thị.
# S_n = (n + 1) ^ 2 + 18n + 11 ……… 1 #
# S_n = (n + 2) ^ 2 + 16n + 8 ………. 2 #
# S_n = (n + 3) ^ 2 + 14n + 3 ………. 3 #
# S_n = (n + 4) ^ 2 + 12n-4 ………. 4 #
# S_n = (n + 5) ^ 2 + 10n-13 ……… 5 #
# S_n = (n + 6) ^ 2 + màu (đỏ) (8 (n-3) ……… 6) #
# S_n = (n + 7) ^ 2 + 6n-37 ………. 7 #
# S_n = (n + 8) ^ 2 + màu (đỏ) (4 (n-13) ……… 8) #
# S_n = (n + 9) ^ 2 + 2n-69 ………. 9 #
# S_n = (n + 10) ^ 2-88 ………….. 10 #
# S_n = (n + 11) ^ 2-2n-109 ……… 11 #
# S_n = (n + 12) ^ 2-4 (n + 33) ……… 12 #
Khi kiểm tra 10 mối quan hệ trên, chúng tôi thấy rằng # S_n # sẽ là hình vuông hoàn hảo trong hai trường hợp thứ 6 và thứ 8, khi n = 3 và n = 13 tương ứng.
Vậy tổng của tất cả các giá trị có thể có của n # S_n # là một hình vuông hoàn hảo là = (3 + 13) = 16.
# S_n # có thể là một hình vuông hoàn hảo khác với hai giá trị phủ định của n. Trường hợp 12 ở đâu # n = -33 # là một ví dụ như vậy
