Làm thế nào để bạn viết một đa thức có chức năng mức độ tối thiểu ở dạng chuẩn với các hệ số thực có các số 0 bao gồm -3,4 và 2-i?

Câu trả lời:

#P (X) = aq (X + 3) (X-4) (X - 2 + i) (X-2-i) # với #aq bằng RR #.

Giải trình:

Để cho # P # là đa thức bạn đang nói về. Tôi giả sử #P! = 0 # hoặc nó sẽ là tầm thường.

P có hệ số thực, vì vậy #P (alpha) = 0 => P (baralpha) = 0 #. Nó có nghĩa là có một gốc cho P, #bar (2-i) = 2 + i #, do đó hình thức này cho # P #:

#P (X) = a (X + 3) ^ (a_1) * (X-4) ^ (a_2) * (X - 2 + i) ^ (a_3) * (X-2-i) ^ (a_4) * Q (X) # với #a_j trong NN #, #Q bằng RR X # và #a trong RR # bởi vì chúng tôi muốn # P # để có hệ số thực.

Chúng tôi muốn mức độ của # P # càng nhỏ càng tốt. Nếu #R (X) = a (X + 3) ^ (a_1) (X-4) ^ (a_2) (X - 2 + i) ^ (a_3) (X-2-i) ^ (a_4) # sau đó #deg (P) = deg (R) + deg (Q) = tổng (a_j + 1) + deg (Q) #. #Q! = 0 # vì thế #deg (Q)> = 0 #. Nếu chúng tôi muốn # P # để có mức độ nhỏ nhất có thể, sau đó #deg (Q) = 0 # (# Q # chỉ là một con số thực # q #), vì thế #deg (P) = deg (R) # và ở đây chúng ta thậm chí có thể nói rằng #P = R #. #deg (P) # sẽ càng nhỏ càng tốt nếu mỗi #a_j = 0 #. Vì thế #deg (P) = 4 #.

Vì vậy, bây giờ, #P (X) = a (X + 3) (X-4) (X - 2 + i) (X-2-i) q #. Hãy phát triển điều đó.

#P (X) = aq (X ^ 2 - X - 12) (X ^ 2-4X + 5) bằng RR X #. Vì vậy, biểu hiện này là tốt nhất # P # chúng ta có thể tìm thấy với những điều kiện đó!