Giới hạn khi x tiếp cận vô hạn của (ln (x)) ^ (1 / x) là gì?

Nó khá đơn giản. Bạn phải sử dụng thực tế rằng

#ln (x) = e ^ (ln (ln (x))) #

Sau đó, bạn biết rằng

#ln (x) ^ (1 / x) = e ^ (ln (ln (x)) / x) #

Và sau đó, phần thú vị xảy ra có thể được giải quyết theo hai cách - sử dụng trực giác và sử dụng toán học.

Hãy để chúng tôi bắt đầu với phần trực giác.

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = lim_ (n-> infty) e ^ (("cái gì đó nhỏ hơn x") / x) = e ^ 0 = 1 #

Hãy để chúng tôi nghĩ tại sao lại như vậy?

Nhờ sự liên tục của # e ^ x # chức năng chúng ta có thể di chuyển giới hạn:

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x)) #

Để đánh giá giới hạn này #lim_ (n-> vô cùng) (ln (ln (x)) / x) #, chúng tôi có thể sử dụng quy tắc de l'Hospital trong đó nêu rõ:

#lim_ (n-> infty) (f (x) / g (x)) = lim_ (n-> infty) ((f '(x)) / (g' (x))) #

Do đó, khi chúng tôi tính các công cụ phái sinh, chúng tôi nhận được:

#lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x) = lim_ (n-> infty) (1 / (xln (x))) #

Là dẫn xuất # 1 / (xln (x)) # cho người đề cử và #1# cho mẫu số.

Giới hạn đó là dễ dàng để tính toán như nó là # 1 / số ít loại giới hạn bằng không.

Do đó, bạn thấy rằng

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x)) = e ^ 0 = 1 #

Và nó có nghĩa là #lim_ (n-> vô cùng) ln (x) ^ 1 / x = 1 # cũng.