Làm thế nào để sử dụng thử nghiệm đạo hàm đầu tiên để xác định cực trị cục bộ y = sin x cos x?

Câu trả lời:

Cực trị cho # y = sin (x) cos (x) # là

# x = pi / 4 + npi / 2 #

với # n # một số nguyên tương đối

Giải trình:

Được #f (x) # hàm đại diện cho sự biến đổi của # y # với sự lặp lại # x #.

Được #f '(x) # đạo hàm của #f (x) #.

#f '(a) # là độ dốc của #f (x) # đường cong tại # x = a # điểm.

Khi độ dốc dương, đường cong ngày càng tăng.

Khi độ dốc âm, đường cong giảm.

Khi độ dốc là null, đường cong vẫn giữ nguyên giá trị.

Khi đường cong đạt đến cực hạn, nó sẽ ngừng tăng / giảm và bắt đầu giảm / tăng. Nói cách khác, độ dốc sẽ chuyển từ dương sang âm - hoặc âm sang dương - đi qua giá trị 0.

Do đó, nếu bạn đang tìm kiếm điểm cực trị của hàm, bạn nên tìm giá trị null của đạo hàm của nó.

N.B. Có một tình huống khi đạo hàm là null nhưng đường cong không đạt đến cực trị: nó được gọi là điểm uốn. Đường cong trong giây lát sẽ ngừng tăng / giảm và sau đó tiếp tục tăng / giảm. Vì vậy, bạn cũng nên kiểm tra xem dấu hiệu của độ dốc có thay đổi xung quanh giá trị null không.

Thí dụ: #f (x) = sin (x) cos (x) = y #

#f '(x) = (dsin (x)) / dxcdotcos (x) + sin (x) cdot (dcos (x)) / dx #

# = cos (x) cdotcos (x) + sin (x) cdot (-sin (x)) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) #

Bây giờ chúng ta có công thức cho #f '(x) #, chúng tôi sẽ tìm kiếm các giá trị null của nó:

#f '(x) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) = 0 rarr cos ^ 2 (x) = sin ^ 2 (x) #

Các giải pháp là # pi / 4 + npi / 2 # với # n # một số nguyên tương đối.

Câu trả lời:

Ngay cả khi chúng tôi dự định sử dụng thử nghiệm phái sinh đầu tiên, vẫn đáng để quan sát rằng #y = 1/2 tội lỗi (2x) #.

Giải trình:

Đã thực hiện quan sát đó, chúng tôi không thực sự cần tính toán để tìm ra điểm cực trị.

Chúng ta có thể dựa vào kiến thức về lượng giác và đồ thị của các hàm hình sin

Giá trị tối đa (của 1/2) sẽ xảy ra khi # 2x = pi / 2 + 2pik # Hoặc khi nào #x = pi / 4 + pik # cho # k # một số nguyên.

Tối thiểu xảy ra tại #x = 3pi / 4 + pik # cho # k # một số nguyên.

Chúng tôi có thể sử dụng công cụ phái sinh, nhưng chúng tôi không thực sự cần nó.

Sử dụng đạo hàm

Đã viết lại # y #, chúng ta có thể nhanh chóng thấy rằng #y '= cos (2x) #

Vì vậy, những con số quan trọng cho # y # là # 2x = pi / 2 + 2pik # và # 2x = (3pi) / 2 + 2pik #, (khi cosin là #0#) hoặc là

# x = pi / 4 + pik # và # x = (3pi) / 4 + pik #

Kiểm tra dấu hiệu của #y '= cos (2x) #, chúng ta sẽ tìm thấy các giá trị tối đa ở tập đầu tiên của các số quan trọng và giá trị tối thiểu ở lần thứ hai.

Chúng tôi sử dụng kiểm tra đường thẳng đứng để xác định xem có thứ gì đó là hàm không, vậy tại sao chúng tôi sử dụng thử nghiệm đường ngang cho hàm nghịch đảo so với thử nghiệm đường dọc?

Chúng tôi chỉ sử dụng kiểm tra đường ngang để xác định, nếu nghịch đảo của hàm thực sự là một hàm. Đây là lý do: Trước tiên, bạn phải tự hỏi mình nghịch đảo của hàm là gì, đó là nơi x và y được chuyển đổi, hoặc một hàm đối xứng với hàm ban đầu trên dòng, y = x. Vì vậy, có, chúng tôi sử dụng kiểm tra đường thẳng đứng để xác định xem một cái gì đó là một chức năng. Một đường thẳng đứng là gì? Chà, phương trình của nó là x = một số, tất cả các

Hãy xem xét các thử nghiệm Bernoulli với xác suất thành công p = 1/4. Cho rằng bốn thử nghiệm đầu tiên dẫn đến tất cả các thất bại, xác suất có điều kiện là bốn thử nghiệm tiếp theo đều thành công?

Thử nghiệm đạo hàm đầu tiên cho các giá trị cực trị cục bộ là gì?

Thử nghiệm đạo hàm đầu tiên cho extrema cục bộ Gọi x = c là giá trị tới hạn của f (x). Nếu f '(x) thay đổi dấu của nó từ + thành - xung quanh x = c, thì f (c) là cực đại cục bộ. Nếu f '(x) thay đổi dấu của nó từ - thành + xung quanh x = c, thì f (c) là mức tối thiểu cục bộ. Nếu f '(x) không thay đổi dấu của nó xung quanh x = c, thì f (c) không phải là tối đa cục bộ cũng không phải là tối thiểu cục bộ.