Phương trình của đường tiếp tuyến của f (x) = (x-3) / (x-4) ^ 2 tại x = 5 là gì?

Phương trình của đường tiếp tuyến có dạng:

# y = màu (cam) (a) x + màu (tím) (b) #

Ở đâu # a # là độ dốc của đường thẳng này.

Để tìm độ dốc của đường tiếp tuyến này đến #f (x) # Ở điểm # x = 5 # chúng ta nên phân biệt #f (x) #

#f (x) # là một hàm số của mẫu # (u (x)) / (v (x)) #

Ở đâu #u (x) = x-3 # và #v (x) = (x-4) ^ 2 #

#color (màu xanh) (f '(x) = (u' (x) v (x) -v '(x) u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#u '(x) = x'-3' #

# màu (đỏ) (u '(x) = 1) #

#v (x) # là một hàm tổng hợp nên chúng ta phải áp dụng quy tắc chuỗi

để cho #g (x) = x ^ 2 # và #h (x) = x-4 #

#v (x) = g (h (x)) #

# màu (đỏ) (v '(x) = g' (h (x)) * h '(x)) #

#g '(x) = 2x # sau đó

#g '(h (x)) = 2 (h (x)) = 2 (x-4) #

#h '(x) = 1 #

# màu (đỏ) (v '(x) = g' (h (x)) * h '(x)) #

# màu (đỏ) (v '(x) = 2 (x-4) #

#color (màu xanh) (f '(x) = (u' (x) v (x) -v '(x) u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#f '(x) = (1 * (x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / ((x-4) ^ 2) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / (x-4) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4-2 (x-3))) / (x-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4-2x + 6)) / (x-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (- x + 2)) / (x-4) ^ 4 #

đơn giản hóa yếu tố chung # x-4 # giữa tử số và mẫu số

# màu (màu xanh) (f '(x) = (- x + 2) / (x-4) ^ 3) #

Bởi vì đường tiếp tuyến đi qua điểm # x = 5 # để chúng ta có thể tìm thấy giá trị của độ dốc # a # bằng cách thay thế # x = 5 # trong # f '(x) #

# màu (màu cam) (a = f '(5)) #

#a = (- 5 + 2) / (5-4) ^ 3 #

# a = -3 / 1 ^ 3 #

# màu (màu cam) (a = -3) #

Đưa ra sự bỏ qua của điểm tiếp tuyến # màu (nâu) (x = 5) # hãy

chúng ta hãy tìm kiếm chức vụ của nó # y = f (5) #

#color (màu nâu) (y = f (5)) = (5-3) / (5-4) ^ 4 #

# y = 2/1 #

# màu (nâu) (y = 2) #

Có tọa độ điểm tiếp tuyến # màu (nâu) ((5; 2)) # và độ dốc # màu (màu cam) (a = -3) # hãy tìm # màu (tím) (b) #

cho phép thay thế tất cả các giá trị đã biết trong phương trình của đường tiếp tuyến để tìm giá trị # màu (tím) (b) #

#color (nâu) (y) = màu (cam) (a) màu (nâu) (x) + màu (tím) (b) #

# 2 = -3 (5) + màu (tím) (b) #

# 2 = -15 + màu (tím (b) #

# 17 = màu (tím) (b) #

do đó, phương trình của đường tiếp tuyến tại điểm # màu (nâu) ((5; 2)) # Là:

# y = -3x + 17 #