Làm thế nào để chuyển đổi r = 7 / (5-5costheta) thành dạng hình chữ nhật?

Câu trả lời:

Đó là parabola đi ngang # 70 x = 25 y ^ 2 - 49. #

Giải trình:

Điều này là thú vị bởi vì nó chỉ phân kỳ; mức tối thiểu của mẫu số là 0. Đó là một phần hình nón; Tôi chỉ chuyển hướng làm cho nó trở thành một parabola. Điều đó không quan trọng lắm, nhưng nó cho chúng ta biết chúng ta có thể có được một dạng đại số tốt đẹp mà không cần hàm trig hoặc căn bậc hai.

Cách tiếp cận tốt nhất là sắp xếp ngược; chúng tôi sử dụng các thay thế từ cực đến hình chữ nhật khi có vẻ như cách khác sẽ trực tiếp hơn.

#x = r cos theta #

#y = r sin theta #

Vì thế # x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 (cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta) = r ^ 2 #

# r = 7 / {5 - 5 cos theta} #

Chúng tôi thấy #r> 0. # Chúng tôi bắt đầu bằng cách xóa phân số.

# 5 r - 5 r cos theta = 7 #

Chúng ta có một #r cos theta # vậy đó # x. #

# 5 r - 5 x = 7 #

# 5r = 5 x + 7 #

Quan sát ban đầu của chúng tôi là #r> 0 # bình phương là OK.

# 25 r ^ 2 = (5x + 7) ^ 2 #

Bây giờ chúng tôi thay thế một lần nữa.

# 25 (x ^ 2 + y ^ 2) = (5x + 7) ^ 2 #

Về mặt kỹ thuật, chúng tôi đã trả lời câu hỏi tại thời điểm này và chúng tôi có thể dừng ở đây. Nhưng vẫn còn đại số để làm, và hy vọng phần thưởng cuối cùng: có lẽ chúng ta có thể cho thấy đây thực sự là một parabola.

# 25 x ^ 2 + 25 y ^ 2 = 25x ^ 2 + 70 x + 49 #

# 25 y ^ 2 - 49 = 70 x #

# x = 1/70 (25 y ^ 2 - 49) = 1/70 (5y-7) (5y + 7) #

đồ thị {x = 1/70 (25y ^ 2 - 49) -17,35, 50, -30, 30}

Vâng, đó là một parabola, xoay # 90 ^ tuần #từ định hướng thông thường.

Kiểm tra: Bóng mắt Alpha