Diện tích của hình thang có các đường chéo là 30 và chiều cao là 18 là bao nhiêu?

Câu trả lời:

#S_ (hình thang) = 432 #

Giải trình:

Hãy xem xét Hình 1

Trong hình thang ABCD thỏa mãn các điều kiện của bài toán (trong đó # BD = AC = 30 #, # DP = 18 #và AB song song với CD) chúng tôi nhận thấy, áp dụng Định lý Angles Nội thất thay thế, rằng # alpha = đồng bằng # và # beta = gamma #.

Nếu chúng ta vẽ hai đường thẳng vuông góc với đoạn AB, tạo thành các đoạn AF và BG, chúng ta có thể thấy rằng #trigin_ (AFC) - = tam giác_ (BDG) # (bởi vì cả hai tam giác đều đúng và chúng ta biết rằng cạnh huyền của một tam giác bằng cạnh huyền của một tam giác kia và một chân của một tam giác bằng một chân của tam giác kia) thì # alpha = beta # => # gamma = đồng bằng #.

Kể từ khi # gamma = đồng bằng # Chúng tôi có thể thấy điều đó #trigin_ (ABD) - = tam giác_ (ABC) # và # AD = BC #, do đó hình thang là cân.

Chúng ta cũng có thể thấy rằng #trigin_ (ADP) - = tam giác_ (BCQ) # => # AP = BQ # (hoặc là # x = y # trong hình 2).

Xem xét hình 2

Chúng ta có thể thấy rằng hình thang trong hình 2 có hình dạng khác với hình 1, nhưng cả hai đều thỏa mãn các điều kiện của vấn đề. Tôi đã trình bày hai số liệu này để cho thấy rằng thông tin của vấn đề không cho phép xác định kích thước của cơ sở 1 (# m #) và của cơ sở 2 (# n #) của hình thang, nhưng chúng ta sẽ thấy rằng không cần thêm thông tin để tính diện tích của hình thang.

Trong #trigin_ (BDP) #

# DB ^ 2 = DP ^ 2 + BP ^ 2 # => # 30 ^ 2 = 18 ^ 2 + (x + m) ^ 2 # => # (x + m) ^ 2 = 900-324 = 576 # => # x + m = 24 #

Kể từ khi # n = m + x + y # và # x = y # => # n = m + 2 * x # và # m + n = m + m + 2 * x = 2 * (x + m) = 2 * 24 # => # m + n = 48 #

#S_ (hình thang) = (cơ sở_1 + cơ sở_2) / 2 * height = (m + n) / 2 * 18 = (48 * 18) / 2 = 432 #

Lưu ý: chúng tôi có thể cố gắng xác định m và n liên hợp hai phương trình này:

Trong #trigin_ (ADP) -> AD ^ 2 = AP ^ 2 + h ^ 2 # => # QUẢNG CÁO 2 = (24-m) ^ 2 + 18 ^ 2 #

Trong #trigin_ (ABD) -> AD ^ 2 = AB ^ 2 + BD ^ 2-2 * AB * BD * cos delta # => # QUẢNG CÁO 2 = m ^ 2 + 30 ^ 2-2 * m * 30 * (4/5) #

(#cos delta = 4/5 # bởi vì #sin delta = 18/30 = 3/5 #)

Nhưng giải quyết hệ thống hai phương trình này, chúng ta sẽ chỉ khám phá ra rằng m và bên QUẢNG CÁO là vô định.