Điều gì thể hiện vận tốc tức thời trên biểu đồ?

Với điều kiện đồ thị có khoảng cách là một hàm của thời gian, độ dốc của đường tiếp tuyến với hàm tại một điểm cho trước biểu thị vận tốc tức thời tại điểm đó.

Để có được ý tưởng về độ dốc này, người ta phải sử dụng giới hạn. Ví dụ, giả sử một hàm được cung cấp một hàm khoảng cách #x = f (t) #và người ta muốn tìm vận tốc tức thời, hoặc tốc độ thay đổi khoảng cách, tại điểm # p_0 = (t_0, f (t_0)) #, nó giúp kiểm tra đầu tiên một điểm gần đó, # p_1 = (t_0 + a, f (t_0 + a)) #, Ở đâu # a # là một số hằng số nhỏ tùy ý. Độ dốc của dòng secant đi qua đồ thị tại các điểm này là:

# f (t_0 + a) -f (t_0) / a #

Như # p_1 # cách tiếp cận # p_0 # (sẽ xảy ra như của chúng tôi # a # giảm), ở trên của chúng tôi #difference thương số # sẽ đạt đến giới hạn, ở đây được chỉ định # L #, đó là độ dốc của đường tiếp tuyến tại điểm đã cho. Tại thời điểm đó, một phương trình độ dốc điểm sử dụng các điểm trên của chúng tôi có thể cung cấp một phương trình chính xác hơn.

Nếu thay vào đó, một người quen thuộc với phân biệtvà hàm này liên tục và khác biệt ở giá trị đã cho của # t #, sau đó chúng ta có thể phân biệt chức năng một cách đơn giản. Cho rằng hầu hết các chức năng khoảng cách là hàm đa thức, của mẫu #x = f (t) = tại ^ n + bt ^ (n-1) + ct ^ (n-2) + … + yt + z, # những cái này có thể được phân biệt bằng cách sử dụng quy tắc quyền lực trong đó nói rằng cho một chức năng #f (t) = tại ^ n, (df) / dt # (hoặc là #f '(t) #) = # (n) tại ^ (n-1) #.

Do đó, đối với hàm đa thức chung của chúng ta ở trên, #x '= f' (t) = (n) tại ^ (n-1) + (n-1) bt ^ (n-2) + (n-2) ct ^ (n-3) + … + y # (Lưu ý rằng kể từ khi #t = t ^ 1 # (vì bất kỳ số nào được nâng lên sức mạnh đầu tiên đều bằng chính nó), việc giảm sức mạnh đi 1 sẽ khiến chúng ta # t ^ 0 = 1 #, do đó, tại sao thuật ngữ cuối cùng chỉ đơn giản là # y #. Cũng lưu ý rằng chúng tôi # z # hạn, là một hằng số, không thay đổi liên quan đến # t # và do đó đã bị loại bỏ trong sự khác biệt).

Điều này #f '(t) # là đạo hàm của hàm khoảng cách theo thời gian; do đó, nó đo tốc độ thay đổi khoảng cách theo thời gian, đơn giản là vận tốc.