Số phức là gì? Thanx.

Số phức là số có dạng # a + bi # Ở đâu # a # và # b # là số thực và #tôi# được định nghĩa là # i = sqrt (-1) #.

(Trên đây là định nghĩa cơ bản về số phức. Đọc tiếp để biết thêm một chút về chúng.)

Giống như cách chúng ta biểu thị tập hợp các số thực là # RR #, chúng tôi biểu thị tập hợp các số phức là # CC #. Lưu ý rằng tất cả các số thực cũng là số phức, như bất kỳ số thực nào # x # có thể được viết là # x + 0i #.

Cho một số phức # z = a + bi #, chúng tôi nói rằng # a # là phần thực của số phức (ký hiệu # "Re" (z) #) và # b # là phần tưởng tượng của số phức (ký hiệu # "Tôi" (z) #).

Thực hiện các hoạt động với số phức tương tự như thực hiện các hoạt động trên nhị thức. Cho hai số phức # z_1 = a_1 + b_1i # và # z_2 = a_2 + b_2i #

# z_1 + z_2 = a_1 + b_1i + a_2 + b_2i = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) i #

# z_1-z_2 = a_1 + b_1i- (a_2 + b_2i) = (a_1-a_2) + (b_1-b_2) i #

# z_1xxz_2 = (a_1 + b_1i) (a_2 + b_2i) #

# = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i + b_1b_2i ^ 2 #

# = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i-b_1b_2 # (nhớ lại # i = sqrt (-1) #)

# = (a_1a_2-b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1) i #

# z_1-: z_2 = (a_1 + b_1i) / (a_2 + b_2i) #

# = ((a_1 + b_1i) (a_2-b_2i)) / ((a_2 + b_2i) (a_2-b_2i)) #

# = ((a_1a_2 + b_1b_2) + (a_2b_1-a_1b_2) i) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) #

# = (a_1a_2 + b_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) + (a_2b_1-a_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) i #

Để phân chia, chúng tôi sử dụng thực tế là # (a + bi) (a-bi) = a ^ 2 + b ^ 2 #. Cho một số phức # z = a + bi # chúng tôi gọi # a-bi # các liên hợp phức tạp của # z # và biểu thị nó #bar (z) # Nó là một tài sản hữu ích (như đã thấy ở trên) #zbar (z) # luôn luôn là một con số thực sự

Các số phức có nhiều ứng dụng và thuộc tính hữu ích, nhưng một số thường gặp sớm là việc sử dụng chúng trong đa thức bao thanh toán. Nếu chúng ta giới hạn mình chỉ là số thực, một đa thức như # x ^ 2 + 1 # không thể được thêm vào, tuy nhiên nếu chúng ta cho phép số phức, thì chúng ta có # x ^ 2 + 1 = (x + i) (x-i) #.

Trong thực tế, nếu chúng ta cho phép số phức, thì bất kì đa thức đơn biến bậc # n # có thể được viết như là sản phẩm của # n # yếu tố tuyến tính (có thể với một số là như nhau). Kết quả này được gọi là định lý cơ bản của đại số và, như tên gọi, rất quan trọng đối với đại số và có ứng dụng rộng rãi.