Đa thức bậc 5, P (x) có hệ số dẫn 1, có gốc đa bội 2 tại x = 1 và x = 0, và một gốc của bội số 1 tại x = -1 Tìm công thức khả dĩ cho P (x)?

Câu trả lời:

# P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) #

Giải trình:

Cho rằng chúng ta có một gốc của đa bội #2# #at x = 1 #, Chúng ta biết rằng #P (x) # có một yếu tố # (x-1) ^ 2 #

Cho rằng chúng ta có một gốc của đa bội #2# tại # x = 0 #, Chúng ta biết rằng #P (x) # có một yếu tố # x ^ 2 #

Cho rằng chúng ta có một gốc của đa bội #1# tại # x = -1 #, Chúng ta biết rằng #P (x) # có một yếu tố # x + 1 #

Chúng tôi được cho rằng #P (x) # là một đa thức bậc #5#và do đó chúng tôi đã xác định được tất cả năm gốc và các yếu tố, vì vậy chúng tôi có thể viết

# P (x) = 0 => x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) = 0 #

Và do đó chúng ta có thể viết

# P (x) = Ax ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) #

Chúng tôi cũng biết rằng hệ số hàng đầu là # 1 => A = 1 #

Vì thế,

# P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) #