Làm thế nào để bạn tìm thấy giá trị tối đa tuyệt đối và tối thiểu tuyệt đối của f trên khoảng đã cho: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) trên [-1, 5]?

Câu trả lời:

Yêu cầu giá trị cực đoan là # -25 / 2 và 25/2 #.

Giải trình:

Chúng tôi sử dụng thay thế # t = 5sinx, t trong -1,5 #.

Quan sát rằng sự thay thế này được cho phép, bởi vì, # t trong -1,5 rArr -1 <= t <= 5rArr -1 <= 5sinx <= 5 #

#rArr -1/5 <= sinx <= 1 #, giữ tốt, như phạm vi của #tội# vui vẻ. Là #-1,1#.

Hiện nay, #f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) = 5sinx * sqrt (25-25 giây ^ 2x) #

# = 5sinx * 5cosx = 25sinxcosx = 25/2 (2sinxcosx) = 25/2sin2x #

Kể từ khi # -1 <= sin2x <= 1 rArr -25/2 <= 25 / 2sin2x <= 25/2 #

#rArr -25/2 <= f (t) <= 25/2 #

Do đó, reqd. tứ chi là # -25 / 2 và 25/2 #.

Câu trả lời:

Tìm sự đơn điệu của hàm từ dấu của đạo hàm và quyết định mức tối đa / tối thiểu cục bộ nào là lớn nhất, nhỏ nhất.

Tối đa tuyệt đối là:

#f (3.536) = 12.5 #

Tối thiểu tuyệt đối là:

#f (-1) = - 4.899 #

Giải trình:

#f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) #

Đạo hàm của hàm:

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (25-t ^ 2)' #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (- 2t) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-t ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-2t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (12,5-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (sqrt (12,5) ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 ((sqrt (12.5) -t) (sqrt (12.5) + t)) / sqrt (25-t ^ 2) #

• Tử số có hai giải pháp:

  # t_1 = sqrt (12,5) = 3,536 #

  # t_2 = -sqrt (12,5) = - 3,536 #

  Do đó, tử số là:

  Tiêu cực cho #t trong (-oo, -3,536) uu (3,536, + oo) #

  Tích cực cho #t trong (-3,536,3,536) #

• Mẫu số luôn dương trong # RR #, vì nó là một căn bậc hai.

  Cuối cùng, phạm vi được đưa ra là #-1,5#

Do đó, đạo hàm của hàm là:

- Tiêu cực cho #t trong -1,3.536) #

- Tích cực cho #t trong (3.536,5) #

Điều này có nghĩa là đồ thị trước hết đi lên từ #f (-1) # đến #f (3.536) # và sau đó đi xuống #f (5) #. Điều này làm cho #f (3.536) # tối đa tuyệt đối và giá trị lớn nhất của #f (-1) # và #f (5) # là mức tối thiểu tuyệt đối.

Tối đa tuyệt đối là #f (3.536) #:

#f (3.536) = 3.536sqrt (25-3.536 ^ 2) = 12.5 #

Đối với tối đa tuyệt đối:

#f (-1) = - 1sqrt (25 - (- 1) ^ 2) = - 4.899 #

#f (5) = 5sqrt (25-5 ^ 2) = 0 #

Vì thế, #f (-1) = - 4.899 # là mức tối thiểu tuyệt đối.

Bạn có thể thấy từ biểu đồ bên dưới rằng điều này là đúng. Chỉ cần bỏ qua khu vực bên trái của #-1# kể từ khi nó ra khỏi miền:

đồ thị {xsqrt (25-x ^ 2) -14,4, 21,63, -5,14, 12,87}