Hai góc của một tam giác cân là tại (7, 5) và (3, 6). Nếu diện tích của tam giác là 6 thì độ dài các cạnh của tam giác là bao nhiêu?

Câu trả lời:

Có một vài cách để làm điều đó; cách với các bước ít nhất được giải thích dưới đây.

Câu hỏi mơ hồ về việc hai bên có cùng độ dài. Trong phần giải thích này, chúng tôi sẽ giả sử hai cạnh có độ dài bằng nhau là những cạnh chưa được tìm thấy.

Giải trình:

Một chiều dài chúng ta có thể tìm ra chỉ từ tọa độ chúng ta đã được đưa ra.

# a = sqrt ((7-3) ^ 2 + (5-6) ^ 2) #

# a = sqrt (4 ^ 2 + (- 1) ^ 2) #

# a = sqrt (16 + 1) #

# a = sqrt17 #

Sau đó, chúng ta có thể sử dụng công thức cho diện tích của một hình tam giác theo độ dài cạnh của nó để tìm ra # b # và # c #.

# A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

Ở đâu # s = (a + b + c) / 2 # (được gọi là bán kính)

Kể từ khi # a = sqrt (17) # được biết đến, và chúng tôi giả định # b = c #, chúng ta có

# s = (sqrt17 + b + b) / 2 #

# màu (đỏ) (s = sqrt17 / 2 + b) #

Thay thế điều này vào công thức khu vực ở trên, cũng như # A = 6 # và # a = sqrt17 #, chúng tôi nhận được

# 6 = sqrt ((màu (đỏ) (sqrt (17) / 2 + b)) (màu (đỏ) (sqrt (17) / 2 + b) -sqrt17) (màu (đỏ) (sqrt (17) / 2 + b) -b) (màu (đỏ) (sqrt (17) / 2 + b) -b)) #

# 6 = sqrt ((sqrt (17) / 2 + b) (- sqrt (17) / 2 + b) (sqrt (17) / 2) (sqrt (17) / 2)) #

# 6 = (sqrt (17) / 2) sqrt ((b + sqrt (17) / 2) (b-sqrt (17) / 2)) #

# 12 / sqrt17 = sqrt (b ^ 2- (sqrt17 / 2) ^ 2) #

# 144/17 = b ^ 2-17 / 4 #

# 144/17 + 17/4 = b ^ 2 #

# 576/68 + 289/68 = b ^ 2 #

# 865/68 = b ^ 2 #

# b = sqrt (865/68) = c #

Giải pháp của chúng tôi là # a = sqrt (17), b = c = sqrt (865/68) #.

Chú thích 1:

Có thể có một hình tam giác có hai cạnh chiều dài #sqrt (17) # và khu vực # A = 6 # (nghĩa là có # a = b = sqrt (17) # thay vì # b = c #). Điều này sẽ dẫn đến một giải pháp khác.

Chú thích 2:

Chúng tôi cũng có thể đã giải quyết câu hỏi này bằng cách tìm tọa độ của điểm thứ 3. Điều này sẽ có liên quan:

a) tìm chiều dài của cạnh đã biết # a #

b) tìm độ dốc # m # giữa hai điểm đã cho

c) tìm trung điểm # (x_1, y_1) # giữa hai điểm đã cho

d) tìm "chiều cao" # h # của tam giác này bằng cách sử dụng # A = 1/2 ah #

e) tìm độ dốc của chiều cao bằng cách sử dụng #m_h = (- 1) / m #

f) sử dụng cả công thức điểm dốc # m_h = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) # và công thức chiều cao # h = sqrt ((y_2-y_1) ^ 2 + (x_2-x_1) ^ 2) # để giải quyết một trong các tọa độ của điểm thứ 3 # (x_2, y_2) #

g) sau khi kết hợp hai phương trình này, đơn giản hóa sản lượng

# x_2 = h / (sqrt (m_h ^ 2 + 1)) + x_1 #

h) cắm các giá trị đã biết cho # h #, # m_h #và # x_1 # để có được # x_2 #

i) sử dụng một trong hai phương trình trong (f) để tìm # y_2 #

j) sử dụng công thức khoảng cách để tìm độ dài cạnh còn lại (giống hệt)

# b = c = sqrt ((x_2-3) ^ 2 + (y_2-6) ^ 2) = sqrt ((x_2-7) ^ 2 + (y_2-5) ^ 2) #

Bạn có thể thấy tại sao phương pháp đầu tiên dễ dàng hơn.