Hình chiếu của <0, 1, 3> lên <0, 4, 4> là gì?

Câu trả lời:

Hình chiếu vector là #< 0,2,2 >#, hình chiếu vô hướng là # 2sqrt2 #. Xem bên dưới.

Giải trình:

Được # veca = <0,1,3> # và # vecb = <0,4,4> #, chúng ta có thể tìm thấy #proj_ (vecb), các vectơ hình chiếu của # veca # trên # vecb # sử dụng công thức sau:

#proj_ (vecb) veca = ((veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

Đó là, tích của hai vectơ chia cho độ lớn của # vecb #, nhân với # vecb # chia cho độ lớn của nó. Đại lượng thứ hai là một đại lượng vectơ, khi chúng ta chia một vectơ cho một vô hướng. Lưu ý rằng chúng tôi chia # vecb # bởi độ lớn của nó để có được một đơn vị véc tơ (vectơ với độ lớn của #1#). Bạn có thể nhận thấy rằng đại lượng đầu tiên là vô hướng, vì chúng ta biết rằng khi chúng ta lấy tích của hai vectơ, kết quả là một vô hướng.

Do đó, vô hướng hình chiếu của # a # trên # b # Là #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #, cũng được viết # | proj_ (vecb) veca | #.

Chúng ta có thể bắt đầu bằng cách lấy sản phẩm chấm của hai vectơ:

# veca * vecb = <0,1,3> * <0,4,4> #

#=> (0*0)+(4*1)+(4*3)#

#=>0+4+12=16#

Sau đó, chúng ta có thể tìm thấy độ lớn của # vecb # bằng cách lấy căn bậc hai của tổng bình phương của mỗi thành phần.

# | vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | vecb | = sqrt ((0) ^ 2 + (4) ^ 2 + (4) ^ 2) #

# => sqrt (0 + 16 + 16) = sqrt (32) #

Và bây giờ chúng ta có mọi thứ chúng ta cần để tìm phép chiếu vector # veca # trên # vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (16) / sqrt (32) * (<0,4,4>) / sqrt (32) #

#=>(16 < 0,4,4 >)/32#

#=>(< 0,4,4 >)/2#

#=>< 0,2,2 >#

Hình chiếu vô hướng của # veca # trên # vecb # chỉ là nửa đầu của công thức, trong đó #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #. Do đó, phép chiếu vô hướng là # 16 / sqrt (32) #, mà đơn giản hóa hơn nữa để # 2sqrt2 #. Tôi đã chỉ ra sự đơn giản hóa dưới đây.

# 16 / sqrt (32) #

# => 16 / sqrt (16 * 2) #

# => 16 / (4 * sqrt2) #

# => 4 / sqrt2 #

# => (4 * sqrt2) / (sqrt2 * sqrt2) #

# => (4sqrt2) / 2 #

# => 2sqrt2 #

Mong rằng sẽ giúp!