Giới hạn khi x tiếp cận vô hạn của (1 + a / x) ^ (bx) là gì?

Bằng cách sử dụng quy tắc logarit và l'Hopital's, #lim_ {x đến infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab} #.

Bằng cách sử dụng thay thế # t = a / x # hoặc tương đương # x = a / t #, # (1 + a / x) ^ {bx} = (1 + t) ^ {{ab} / t} #

Bằng cách sử dụng các thuộc tính logarit,

# = e ^ {ln (1 + t) ^ {{ab} / t}} = e ^ {{ab} / t ln (1 + t)} = e ^ {ab {ln (1 + t) } / t} #

Theo quy tắc của L'hopital, #lim_ {t đến 0} {ln (1 + t)} / {t} = lim_ {t đến 0} {1 / {1 + t}} / {1} = 1 #

Vì thế, #lim_ {x đến infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab lim_ {t đến 0} {ln (1 + t)} / {t}} = e ^ {ab} #

(Chú thích: #t đến 0 # như #x đến vô cùng #)