Làm thế nào để bạn tìm thấy giá trị chính xác của cos58 bằng cách sử dụng các công thức tính tổng và hiệu, góc kép hoặc nửa góc?

Câu trả lời:

Nó chính xác là một trong những gốc rễ của #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) # Ở đâu #T_n (x) # là # n #Đa thức thứ nhất của Ch Quashev thuộc loại thứ nhất. Đó là một trong bốn mươi sáu gốc của:

Xê-ri 8 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 979058 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = 1 38958828280032 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #

Giải trình:

# 58 ^ tuần hoàn không phải là bội số của # 3 ^ tuần #. Nhiều # 1 ^ tuần # đó không phải là bội số của # 3 ^ tuần # không thể xây dựng được với một đường thẳng và la bàn, và các hàm lượng giác của chúng không phải là kết quả của một số thành phần của các số nguyên sử dụng phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia và căn bậc hai.

Điều đó không có nghĩa là chúng ta không thể viết ra một số biểu thức cho #cos 58 ^ tuần hoàn. Hãy lấy ký hiệu độ có nghĩa là một yếu tố của # {2pi} / 360 #.

# e ^ {i 58 ^ Circ} = cos 58 ^ Circ + i sin 58 ^ Circ #

#e ^ {- i 58 ^ Circ} = cos 58 ^ Circ - i sin 58 ^ Circ #

# e ^ {i 58 ^ Circ} + e ^ {- i 58 ^ Circ} = 2 cos 58 ^ Circ #

#cos 58 ^ Circ = 1/2 (e ^ {i 58 ^ Circ} + e ^ {- i 58 ^ Circ}) #

Không có ích.

Chúng ta có thể cố gắng viết ra một phương trình đa thức mà một trong số đó là gốc #cos 58 ^ tuần hoàn nhưng nó có thể sẽ quá lớn để phù hợp.

# theta = 2 ^ tuần # Là #180#th của một vòng tròn. Kể từ khi #cos 88 ^ Circ = -cos 92 ^ Circ # điêu đo co nghia la #cos 2 ^ tuần hoàn thỏa mãn

#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #

#cos (180 ^ Circ -44 theta) = cos (46 theta) #

Hãy giải quyết điều này cho # theta # Đầu tiên. #cos x = cos a # có rễ # x = chiều a + 360 ^ tuần k, # số nguyên # k #.

# 180 ^ Circ -46 theta = pm 44 theta - 360 ^ Circ k #

# 46 theta pm 44 theta = 180 ^ Circ + 360 ^ Circ k #

#theta = 2 ^ Circ + 4 ^ Circ k hoặc theta = 90 ^ Circ + 180 ^ Circ k #

Đó là rất nhiều rễ, và chúng ta thấy # theta = 58 ^ tuần # trong số đó

Các đa thức #T_n (x) #, được gọi là đa thức Ch Quashev thuộc loại thứ nhất, đáp ứng #cos (n theta) = T_n (cos theta) #. Chúng có hệ số nguyên. Chúng tôi biết một vài đầu tiên từ các công thức góc đôi và ba:

#cos (0 theta) = 1 tứ giác # vì thế# tứ giác T_0 (x) = 1 #

#cos (1 theta) = cos theta quad # vì thế# tứ giác T_1 (x) = x #

#cos (2 theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 tứ giác # vì thế # tứ giác T_2 (x) = 2x ^ 2-1 #

#cos (3 theta) = 4cos ^ 3 theta - 3 cos tứ giác # vì thế # tứ giác T_3 (x) = 4x ^ 4-3x #

Có một mối quan hệ đệ quy tốt đẹp mà chúng ta có thể xác minh:

# T_ {n + 1} (x) = 2x T_ {n} (x) - T_ {n-1} (x) #

Vì vậy, trên lý thuyết chúng ta có thể tạo ra những thứ này cho lớn # n # như chúng tôi quan tâm

Nếu chúng ta để # x = cos theta, # phương trình của chúng tôi

#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #

trở thành

#T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) #

Wolfram Alpha rất vui khi cho chúng tôi biết đó là những gì. Tôi sẽ viết phương trình chỉ để kiểm tra kết xuất toán học:

Xê-ri 8 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 979058 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = 1 38958828280032 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #

Vâng, câu trả lời này đang trở nên dài, cảm ơn Socratic. Anway, một trong những gốc của đa thức bậc 46 đó với các hệ số nguyên là # cos 58 ^ tuần hoàn.