Câu trả lời:
Đã trả lời ở đây.
Giải trình:
Trước tiên bạn cần tìm # sin18 ^ @ #, cho các chi tiết có sẵn ở đây.
Sau đó bạn có thể nhận được # cos36 ^ @ # như được hiển thị ở đây.
Câu trả lời:
Chúng tôi giải quyết #cos (2 theta) = cos (3 theta) # hoặc là # 2x ^ 2-1 = 4x ^ 3-3x # cho # x = cos 144 ^ tuần hoàn và lấy #cos 36 ^ Circ = -cos 144 ^ Circ = 1/4 (1 + sqrt {5}). #
Giải trình:
Chúng tôi nhận được #cos 36 ^ tuần # gián tiếp nhẹ từ công thức góc kép và ba cho cosin. Thật tuyệt vời khi nó được thực hiện, và có một kết thúc bất ngờ.
Chúng tôi sẽ tập trung vào #cos 72 ^ tuần hoàn. Góc # theta = 72 ^ tuần hoàn thỏa mãn
#cos (2 theta) = cos (3 theta). #
Hãy giải quyết nó cho # theta #, nhớ lại #cos x = cos a # có giải pháp #x = pm a + 360 ^ tuần k. #
# 2 theta = pm 3 theta + 360 ^ tuần k #
# 5 theta = 360 ^ tuần k # hoặc là # -theta = 360 ^ tuần k #
#theta = 72 ^ tuần k #
Điều đó bao gồm # 360 ^ tuần k # vì vậy chúng ta có thể bỏ phần "hoặc".
Tôi không viết một bí ẩn ở đây (mặc dù kết thúc bất ngờ) vì vậy tôi sẽ đề cập đến điều đó #cos (2 (72 ^ Circ)) = cos (144 ^ Circ) = - cos (36 ^ Circ) # cũng là một giải pháp hợp lệ và chúng tôi thấy nó liên quan đến câu hỏi như thế nào.
#cos (2 theta) = cos (3 theta) #
# 2 cos ^ 2 theta -1 = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #
Bây giờ hãy để # x = cos theta #
# 2 x ^ 2 -1 = 4 x ^ 3 - 3x #
# 4 x ^ 3 - 2x ^ 2 - 3x +1 = 0 #
Chúng tôi biết # x = cos (0 lần 72 ^ tuần) = 1 # là một giải pháp # (x-1) # là một yếu tố:
# (x - 1) (4 x ^ 2 + 2x - 1) = 0 #
Phương trình bậc hai có gốc
#x = 1/4 (-1 pm sqrt {5}) #
Người tích cực phải #cos 72 ^ tuần hoàn và tiêu cực #cos 144 ^ tuần hoàn #.
#cos 144 ^ Circ = 1/4 (-1 - sqrt {5}) #
#cos 36 ^ Circ = cos (180 ^ Circ - 144 ^ Circ) = -cos 144 ^ Circ = 1/4 (1 + sqrt {5}) #
Đó là câu trả lời. Điều ngạc nhiên là nó là một nửa tỷ lệ vàng!
