Tích hợp 1 / (1 + x ^ 3) dx?

Câu trả lời:

# 1 / 3ln | x + 1 | -1 / 6ln | x ^ 2-x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #

Giải trình:

Bắt đầu bằng cách tính hệ số mẫu số:

# 1 + x ^ 3 = (x + 1) (x ^ 2-x + 1) #

Bây giờ chúng ta có thể thực hiện một phần phân số:

# 1 / (1 + x ^ 3) = 1 / ((x + 1) (x ^ 2-x + 1)) = A / (x + 1) + (Bx + C) / (x ^ 2-x +1) #

Chúng ta có thể tìm thấy # A # sử dụng phương pháp che đậy:

# A = 1 / ((văn bản (////)) ((- 1) ^ 2 + 1 + 1)) = 1/3 #

Tiếp theo, chúng ta có thể nhân cả hai bên bằng mẫu số LHS:

# 1 = 1/3 (x ^ 2-x + 1) + (Bx + C) (x + 1) #

# 1 = 1 / 3x ^ 2-1 / 3x + 1/3 + Bx ^ 2 + Bx + Cx + C #

# 1 = (1/3 + B) x ^ 2 + (B + C-1/3) x + (C + 1/3) #

Điều này đưa ra các phương trình sau:

# 1/3 + B = 0 -> B = -1 / 3 #

# C + 1/3 = 1-> C = 2/3 #

Điều này có nghĩa là chúng ta có thể viết lại tích phân ban đầu của mình:

#int 1 / (1 + x ^ 3) dx = 1 / 3int 1 / (x + 1) - (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx #

Tích phân đầu tiên có thể được thực hiện bằng cách sử dụng thay thế u rõ ràng, nhưng rõ ràng câu trả lời là #ln | x + 1 | #:

# 1/3 (ln | x + 1 | -int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx) #

Chúng ta có thể chia tích phân còn lại thành hai:

#int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx = 1 / 2int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) dx = #

# = 1/2 (int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx-int 3 / (x ^ 2-x + 1) dx) #

Lý do cho mánh khóe với phép nhân và chia cho #2# là làm cho mẫu số tay trái dễ sử dụng thay thế u hơn.

Tôi sẽ gọi tích phân bên trái 1 và tích phân bên phải 2

Tích phân 1

#int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx #

Vì chúng tôi đã chuẩn bị tích phân này để thay thế, tất cả những gì chúng tôi cần làm là thay thế # u = x ^ 2-x + 1 #và đạo hàm là # 2x-1 #, vì vậy chúng tôi chia theo đó để tích hợp với # u #:

#int hủy (2x-1) / (hủy (2x-1) * u) du = int 1 / u du = ln | u | + C = ln | x ^ 2-x + 1 | + C #

Tích phân 2

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) dx #

Chúng tôi muốn có được tích phân này vào mẫu:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

Để làm điều này, chúng ta cần hoàn thành hình vuông cho mẫu số:

# x ^ 2-x + 1 = (x-1/2) ^ 2 + k #

# x ^ 2-x + 1 = x ^ 2-x + 1/4 + k #

# k = 3/4 #

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) dx = 3int 1 / ((x-1/2) ^ 2 + 3/4) dx #

Chúng tôi muốn giới thiệu một sự thay thế u sao cho:

# (x-1/2) ^ 2 = 3 / 4u ^ 2 #

# x-1/2 = sqrt3 / 2u #

# x = sqrt3 / 2u + 1/2 #

Chúng tôi nhân với đạo hàm đối với # u # hòa nhập với # u #:

# dx / (du) = sqrt (3) / 2 #

# 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) du = 3sqrt3 / 2 * 1 / (3/4) int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 2sqrt3tan ^ -1 (u) + C = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #

Hoàn thành tích phân ban đầu

Bây giờ chúng ta đã biết câu trả lời cho Integral 1 và Integral 2, chúng ta có thể cắm chúng trở lại vào biểu thức ban đầu để có câu trả lời cuối cùng:

# 1/3 (ln | x + 1 | -1 / 2ln | x ^ 2-x + 1 | + sqrt3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3)) + C = #

# = 1 / 3ln | x + 1 | -1 / 6ln | x ^ 2-x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #

Câu trả lời:

# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + (sqrt3) / 3arctan ((2x-1) / sqrt3) + C #

Giải trình:

#int dx / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 2-x + 1) * (x + 1) #

=# 1 / 3int (x ^ 2-x + 1) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #-# 1 / 3int (x ^ 2-x-2) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=# 1 / 3int dx / (x + 1) #-# 1 / 3int ((x + 1) (x-2)) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/3 int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) * dx #+# 1/6 int 3 / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + C #+# 1/2 int dx / (x ^ 2-x + 1) #

=# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + C #+#int (2dx) / (4x ^ 2-4x + 4) #

=# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + C #+#int (2dx) / ((2x-1) ^ 2 + 3) #

=# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + (sqrt3) / 3arctan ((2x-1) / sqrt3) + C #