Làm thế nào để bạn tìm thấy giới hạn của sqrt (x ^ 2-9) / (2x-6) khi x tiếp cận -oo?

Câu trả lời:

Làm một chút bao thanh toán để có được #lim_ (x -> - oo) = - 1/2 #.

Giải trình:

Khi chúng ta đối phó với các giới hạn ở vô cực, việc xác định một # x #hoặc một # x ^ 2 #hoặc bất cứ sức mạnh nào của # x # đơn giản hóa vấn đề. Đối với điều này, hãy để một yếu tố # x ^ 2 # từ tử số và một # x # từ mẫu số:

#lim_ (x -> - oo) (sqrt (x ^ 2-9)) / (2x-6) = (sqrt ((x ^ 2) (1-9 / (x ^ 2)))) / (x (2-6 / x)) #

# = (sqrt (x ^ 2) sqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (x (2-6 / x)) #

Đây là nơi nó bắt đầu thú vị. Dành cho #x> 0 #, #sqrt (x ^ 2) # tích cực; tuy nhiên, cho #x <0 #, #sqrt (x ^ 2) # là tiêu cực. Về mặt toán học:

#sqrt (x ^ 2) = abs (x) # cho #x> 0 #

#sqrt (x ^ 2) = - x # cho #x <0 #

Vì chúng ta đang đối phó với một giới hạn ở vô cực tiêu cực #sqrt (x ^ 2) # trở thành # -x #:

# = (- xsqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (x (2-6 / x)) #

# = (- sqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (2-6 / x) #

Bây giờ chúng ta có thể thấy vẻ đẹp của phương pháp này: chúng ta có một # 9 / x ^ 2 # và # 6 / x #, cả hai sẽ đi đến #0# như # x # đi đến vô cực tiêu cực:

#lim_ (x -> - oo) = (- sqrt (1-0)) / (2-0) #

#lim_ (x -> - oo) = - 1/2 #