Làm thế nào để bạn tìm thấy int 3 / ((1 + x) (1 - 2x)) dx bằng cách sử dụng phân số một phần?

Câu trả lời:

#ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C #

Giải trình:

Để cho # 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) # được = # (A / (1 + x) + B / (1 - 2x)) #

Mở rộng phía bên tay phải, chúng tôi nhận được

# (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) #

Tương đương, chúng ta nhận được

# (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) # = # 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) #

I E #A * (1 - 2x) + B * (1 + x) = 3 #

hoặc là #A - 2Ax + B + Bx = 3 #

hoặc là # (A + B) + x * (- 2A + B) = 3 #

cân bằng hệ số của x đến 0 và hằng số bằng nhau, chúng ta nhận được

#A + B = 3 # và

# -2A + B = 0 #

Giải quyết cho A & B, chúng tôi nhận được

#A = 1 và B = 2 #

Thay thế trong tích hợp, chúng tôi nhận được

#int 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) dx # = #int (1 / (1 + x) + 2 / (1 - 2x)) dx #

= #int (1 / (1 + x)) dx + int (2 / (1 - 2x)) dx #

= #ln (1 + x) + 2 * ln (1 - 2x) * (-1 / 2) #

= #ln (1 + x) - ln (1 - 2x) #

= #ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C #