Sự thay thế lượng giác khác với sự thay thế u như thế nào?

Câu trả lời:

Nói chung, thay thế trig được sử dụng cho các tích phân của mẫu # x ^ 2 + -a ^ 2 # hoặc là #sqrt (x ^ 2 + -a ^ 2) #, trong khi # u #-substlation được sử dụng khi một hàm và đạo hàm của nó xuất hiện trong tích phân.

Giải trình:

Tôi thấy cả hai loại thay thế đều rất hấp dẫn vì lý do đằng sau chúng. Hãy xem xét, đầu tiên, thay thế trig. Điều này bắt nguồn từ Định lý Pythagore và Bản sắc Pythagore, có lẽ là hai khái niệm quan trọng nhất trong lượng giác. Chúng tôi sử dụng điều này khi chúng tôi có một cái gì đó như:

# x ^ 2 + a ^ 2 -> # Ở đâu # a # là hằng số

#sqrt (x ^ 2 + a ^ 2) -> # một lần nữa giả định # a # là hằng số

Chúng ta có thể thấy rằng hai người này trông rất giống # a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 #, đó là Định lý Pythagore. Nó liên quan đến hai cạnh của một tam giác vuông với cạnh huyền của tam giác. Nếu chúng ta rút ra điều này, chúng ta có thể thấy rằng có, # x ^ 2 + a ^ 2 # có thể được biểu diễn bằng một hình tam giác:

Hình ảnh rất hữu ích, vì nó cho chúng ta biết # tantheta = x / a #, hoặc là # atantheta = x #; điều này tạo thành cơ sở của sự thay thế trig. Hơn nữa (và đây là nơi nó trở nên tuyệt vời), khi bạn thay thế # x = tantheta # vào # x ^ 2 + a ^ 2 #, bạn kết thúc với Danh tính Pythagore, trong trường hợp này # tan ^ 2theta + 1 = giây ^ 2theta #. Sau đó bạn có thể thực hiện một số đơn giản hóa cho # giây ^ 2theta # nếu bạn cần, và tích phân là dễ dàng trên đó. Các trường hợp cũng vậy # x ^ 2-a ^ 2 #, # a ^ 2-x ^ 2 #, #sqrt (x ^ 2-a ^ 2) #và #sqrt (a ^ 2-x ^ 2) #.

Bạn có thể sử dụng trig sub. cho rất nhiều vấn đề, nhưng bạn có thể sử dụng # u #-subst hiến thậm chí còn nhiều hơn. Chúng tôi sử dụng kỹ thuật này khi chúng tôi có một cái gì đó như # intlnx / xdx #. Nếu chúng ta quan sát, chúng ta thấy rằng chúng ta có hai chức năng - # lnx # và # 1 / x #. Và nếu chúng ta nhớ các dẫn xuất cơ bản của mình, chúng ta sẽ biết # d / dxlnx = 1 / x # cho #x> 0 # (hoặc là # d / dxlnabs (x) = 1 / x # cho #x! = 0 #). Vì vậy, ý tưởng là để cho # u = lnx #; sau đó # (du) / dx = 1 / x # và # du = dx / x #. Vấn đề, sau khi thực hiện các thay thế này, đơn giản hóa để # intudu # - một tích phân dễ dàng hơn nhiều so với trước đây.

Mặc dù hai kỹ thuật này có thể khác nhau, nhưng cả hai đều phục vụ cùng một mục đích: giảm tích phân thành dạng đơn giản hơn để chúng ta có thể sử dụng các kỹ thuật cơ bản. Tôi chắc chắn rằng lời giải thích của tôi không đủ để bao gồm tất cả các chi tiết cụ thể về những sự thay thế này, vì vậy tôi mời những người khác đóng góp.