Các bài kiểm tra về khả năng phân chia của các số khác nhau là gì?

Có nhiều bài kiểm tra chia hết. Dưới đây là một vài, cùng với cách chúng có thể được bắt nguồn.

• Một số nguyên chia hết cho #2# nếu chữ số cuối cùng là chẵn.

• Một số nguyên chia hết cho #3# nếu tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.

• Một số nguyên chia hết cho #4# nếu số nguyên được tạo bởi hai chữ số cuối chia hết cho 4.

• Một số nguyên chia hết cho #5# nếu chữ số cuối cùng là 5 hoặc 0.

• Một số nguyên chia hết cho #6# nếu nó chia hết cho 2 và 3.

• Một số nguyên chia hết cho #7# nếu trừ hai lần chữ số cuối cùng khỏi số nguyên được hình thành bằng cách loại bỏ chữ số cuối cùng là bội số của 7.

• Một số nguyên chia hết cho #8# nếu số nguyên được tạo bởi ba chữ số cuối chia hết cho 8 (điều này có thể được thực hiện dễ dàng hơn bằng cách lưu ý rằng quy tắc này giống như với 4s nếu hàng trăm chữ số chẵn và ngược lại)

• Một số nguyên chia hết cho #9# nếu tổng các chữ số chia hết cho 9.

• Một số nguyên chia hết cho #10# nếu chữ số cuối cùng là #0#

Đối với những điều này và hơn thế nữa, hãy xem trang wikipedia để biết các quy tắc chia hết.

Bây giờ, người ta có thể tự hỏi làm thế nào để đưa ra các quy tắc này, hoặc ít nhất cho thấy rằng chúng thực sự sẽ hoạt động. Một cách để làm điều này là với một loại toán gọi là số học mô-đun.

Trong số học mô-đun, chúng tôi chọn một số nguyên # n # như mô đun và sau đó coi mọi số nguyên khác là modulo đồng dạng # n # phần còn lại của nó khi chia cho # n #. Một cách dễ dàng để nghĩ về điều này là bạn có thể thêm hoặc bớt # n # mà không thay đổi giá trị của một số nguyên modulo n. Điều này giống như cách, trên một đồng hồ analog, thêm mười hai giờ kết quả cùng một lúc. Thêm giờ trên đồng hồ là bổ sung modulo #12#.

Điều làm cho số học mô-đun rất hữu ích trong việc xác định quy tắc chia hết là vì bất kì số nguyên # a # và số nguyên dương # b #, chúng ta có thể nói về điều đó # a # chia hết cho # b # nếu và chỉ nếu

# a- = 0 "(mod b)" # (# a # phù hợp với #0# modulo # b #).

Chúng ta hãy sử dụng điều này để xem tại sao quy tắc chia hết cho #3# công trinh. Chúng ta sẽ làm như vậy bằng cách sử dụng một ví dụ sẽ hiển thị khái niệm chung. Trong ví dụ này, chúng ta sẽ thấy tại sao #53412# chia hết cho #3#. Hãy nhớ rằng thêm hoặc bớt #3# sẽ không thay đổi giá trị của một modulo nguyên #3#.

#53412# chia hết cho #3# nếu và chỉ nếu # 53412 - = 0 "(mod 3)" #

Nhưng cũng bởi vì #10 -3 -3 -3 = 1#, chúng ta có # 10 - = 1 "(mod 3)" #

Như vậy:

# 53412 - = 5 * 10 ^ 5 + 3 * 10 ^ 4 + 4 * 10 ^ 3 + 1 * 10 ^ 2 + 2 "(mod 3)" #

# - = 5 * 1 ^ 5 + 3 * 1 ^ 4 + 4 * 1 ^ 3 + 1 * 1 ^ 2 + 2 "(mod 3)" #

# màu (đỏ) (- = 5 + 3 + 4 + 1 + 2 "(mod 3)") #

# - = 3 * 5 "(mod 3)" #

# - = 0 * 5 "(mod 3)" #

# - = 0 "(mod 3)" #

Như vậy #53412# chia hết cho #3#. Bước màu đỏ cho thấy lý do tại sao chúng ta có thể chỉ cần tổng các chữ số và kiểm tra xem thay vì cố gắng chia số gốc cho #3#.