Giới hạn của (1+ (4 / x)) ^ x khi x tiến đến vô cùng là gì?

Giới hạn của (1+ (4 / x)) ^ x khi x tiến đến vô cùng là gì?
Anonim

Câu trả lời:

# e ^ 4 #

Giải trình:

Lưu ý định nghĩa nhị thức cho số Euler:

# e = lim_ (x-> oo) (1 + 1 / x) ^ x- = lim_ (x-> 0) (1 + x) ^ (1 / x) #

Ở đây tôi sẽ sử dụng # x-> oo # Định nghĩa.

Trong công thức đó, hãy # y = nx #

Sau đó # 1 / x = n / y ## x = y / n #

Số Euler sau đó được thể hiện dưới dạng tổng quát hơn:

# e = lim_ (y-> oo) (1 + n / y) ^ (y / n) #

Nói cách khác, # e ^ n = lim_ (y-> oo) (1 + n / y) ^ y #

Kể từ khi # y # cũng là một biến, chúng ta có thể thay thế # x # thay cho # y #:

# e ^ n = lim_ (x-> oo) (1 + n / x) ^ x #

Do đó, khi nào # n = 4 #, #lim_ (x-> oo) (1 + 4 / x) ^ x = e ^ 4 #