Làm thế nào để giải phương trình vi phân tách và tìm nghiệm cụ thể thỏa mãn điều kiện ban đầu y (4) = 3?

Câu trả lời:

Giải pháp chung: #color (đỏ) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1) "" #

Giải pháp cụ thể: # màu (màu xanh) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = 13) #

Giải trình:

Từ phương trình vi phân đã cho #y '(x) = sqrt (4y (x) +13) #

lưu ý rằng #y '(x) = dy / dx # và #y (x) = y #, vì thế

# dy / dx = sqrt (4y + 13) #

chia cả hai bên #sqrt (4y + 13) #

# dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = sqrt (4y + 13) / sqrt (4y + 13) #

# dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = 1 #

Nhân cả hai bên # dx #

# dx * dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 #

#celon (dx) * dy / hủy (dx) (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 #

# dy / sqrt (4y + 13) = dx #

hoán vị # dx # phía bên trái

# dy / sqrt (4y + 13) -dx = 0 #

tích hợp trên cả hai mặt chúng ta có kết quả như sau

#int dy / sqrt (4y + 13) -int dx = int 0 #

# 1/4 * int (4y + 13) ^ (- 1/2) * 4 * dy-int dx = int 0 #

# 1/4 * (4y + 13) ^ (- 1/2 + 1) / ((1-1 / 2)) - x = C_0 #

# 1/2 * (4y + 13) ^ (1/2) -x = C_0 #

# (4y + 13) ^ (1/2) -2x = 2 * C_0 #

#color (đỏ) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1) "" #Giải pháp chung

Nhưng #y (-4) = 3 # có nghĩa là khi # x = -4 #, # y = 3 #

Bây giờ chúng ta có thể giải quyết cho # C_1 # để giải quyết cho giải pháp cụ thể

# (4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1 #

# (4 (3) +13) ^ (1/2) -2 (-4) = C_1 #

# C_1 = 13 #

Do đó, giải pháp cụ thể của chúng tôi là

# màu (màu xanh) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = 13) #

Chúa phù hộ …. Tôi hy vọng lời giải thích là hữu ích.

Câu trả lời:

# y = x ^ 2 + 13x + 36 #, với #y> = - 13/4 #.

Giải trình:

#y> = - 13/4 #, để làm cho #sqrt (4y + 13) # thực..

Sắp xếp lại, #x '(y) = 1 / sqrt (4y + 13) #

Vì thế, # x = int 1 / sqrt (4y + 13) dy #

# = (4/2) sqrt (4y + 13) + C #

Sử dụng #y = 3, khi x = -4, C = -`13 / 2 #

Vì thế. #x = (1/2) (sqrt (4y + 13) - 13) #

Nghịch đảo. #y = (1/4) ((2x + 13) ^ 2 - 13) = x ^ 2 + 13x + 36 #