Thế nào là trực giao của một tam giác có các đỉnh tại O (0,0), P (a, b) và Q (c, d) #?

Câu trả lời:

# (x, y) = {ac + bd} / {quảng cáo - bc} (d-b, a-c) #

Giải trình:

Tôi đã khái quát câu hỏi cũ này hơn là hỏi một câu hỏi mới. Tôi đã làm điều này trước đây cho một câu hỏi cắt bao quy đầu và không có gì xấu xảy ra, vì vậy tôi tiếp tục loạt bài.

Như trước khi tôi đặt một đỉnh ở điểm gốc để cố gắng giữ cho đại số có thể kéo được. Một tam giác tùy ý được dịch dễ dàng và kết quả dễ dàng dịch trở lại.

Orthocenter là giao điểm của độ cao của một hình tam giác. Sự tồn tại của nó dựa trên định lý rằng độ cao của một tam giác cắt nhau tại một điểm. Chúng tôi nói ba độ cao là đồng thời.

Hãy chứng minh độ cao của tam giác OPQ đồng thời.

Vectơ chỉ phương của OP bên là # P-O = P = (a, b), # đó chỉ là một cách thú vị để nói về độ dốc #ba# (nhưng vectơ chỉ hoạt động khi # a = 0 #). Chúng ta có được vectơ chỉ phương của phương vuông góc bằng cách hoán đổi tọa độ và phủ định một, ở đây #(ba).# Đường vuông góc được xác nhận bởi sản phẩm dấu chấm không:

# (a, b) cdot (b, -a) = ab-ba = 0 quad sqrt #

Do đó, phương trình tham số của độ cao từ OP đến Q là:

# (x, y) = Q + t (b, -a) = (c, d) + t (b, -a) tứ giác # cho thật # t #

Độ cao từ OQ đến P tương tự

# (x, y) = (a, b) + u (d, -c) tứ giác # cho thật # u #

Vectơ chỉ phương của PQ là # Q-P = (c-a, d-b) #. Do đó, đường vuông góc qua gốc tọa độ, tức là độ cao từ PQ, do đó

# (x, y) = v (d-b, a-c) tứ giác # cho thật # v #

Chúng ta hãy nhìn vào cuộc gặp gỡ của các độ cao từ OP và PQ:

# (c, d) + t (b, -a) = v (d-b, a-c) #

Đó là hai phương trình trong hai ẩn số, # t # và # v #.

# c + bt = v (d-b) #

# d-at = v (a-c) #

Chúng tôi sẽ nhân số đầu tiên bằng # a # và thứ hai bởi # b #.

# ac + abt = av (d-b) #

# bd-abt = bv (a-c) #

Thêm, #ac + bd = v (a (d-b) + b (a-c)) = v (quảng cáo - ab + ab -bc) #

#v = {ac + bd} / {quảng cáo - bc} #

Cách mát mẻ với sản phẩm chấm trong tử số và sản phẩm chéo trong mẫu số.

Cuộc gặp gỡ được coi là chỉnh hình # (x, y) #:

# (x, y) = v (d-b, a-c) = {ac + bd} / {quảng cáo - bc} (d-b, a-c) #

Hãy tìm cuộc gặp gỡ về độ cao từ OQ và PQ tiếp theo. Bằng cách đối xứng, chúng ta có thể trao đổi # a # với # c # và # b # với # d #. Chúng tôi sẽ gọi kết quả # (x ', y'). #

# (x ', y') = {ca + db} / {cb - da} (b-d, c-a) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Chúng ta có hai giao điểm này giống nhau, # (x ', y') = (x, y), # Vì vậy, chúng tôi đã chứng minh độ cao là đồng thời. #quad sqrt #

Chúng tôi đã biện minh cho việc đặt tên của giao lộ chung chỉnh hình và chúng tôi đã tìm thấy tọa độ của nó.

# (x, y) = {ac + bd} / {quảng cáo - bc} (d-b, a-c) #