Xin vui lòng, ai đó giúp đỡ để giải quyết vấn đề?

Câu trả lời:

Hãy thử thay đổi # x = tan u #

Xem bên dưới

Giải trình:

Chúng ta biết rằng # 1 + tan ^ 2 u = giây ^ 2u #

Bằng cách thay đổi đề xuất, chúng tôi có

# dx = giây ^ 2u du #. Cho phép thay thế trong tích phân

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = intsec ^ 2u / (1 + tan ^ 2u) ^ (3/2) du = intsec ^ 2u / giây ^ 3udu = int1 / secudu = intcosudu = sinu + C #

Do đó, hoàn tác thay đổi:

# u = arctanx # và cuối cùng chúng ta có

#sin u + C = sin (arctanx) + C #

Câu trả lời:

#color (màu xanh) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #

Giải trình:

Hãy thử sử dụng Thay thế lượng giác để giải tích phân này. Để làm như vậy, chúng ta sẽ xây dựng một tam giác góc vuông #Delta ABC # và gắn nhãn cho các mặt theo cách sử dụng công thức của Pythagoras, chúng ta có thể rút ra các biểu thức mà chúng ta hiện đang thấy trong đối số của tích phân như sau:

Góc # / _ B = theta # có mặt đối lập # x # và bên cạnh #1#. Sử dụng công thức của Pythagoras:

# (BC) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (AC) ^ 2 # kết quả trong:

# (BC) ^ 2 = 1 ^ 2 + x ^ 2 = 1 + x ^ 2 #

# BC = sqrt (1 + x ^ 2 # như được hiển thị.

Bây giờ, hãy viết ba hàm lượng giác cơ bản nhất cho # theta #:

# sintheta = x / sqrt (1 + x ^ 2) #

# costheta = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #

# tantheta = x / 1 = x #

Bây giờ chúng ta cần sử dụng các phương trình này để giải cho các phần khác nhau của đối số tích phân theo thuật ngữ lượng giác. Hãy sử dụng # tantheta #:

# tantheta = x #

Hãy lấy dẫn xuất của cả hai bên:

# giây ^ 2 theta d theta = dx #

Từ # giá # phương trình, chúng ta có thể giải #sqrt (1 + x ^ 2) #:

#sqrt (1 + x ^ 2) = 1 / costheta = sectheta #

Nếu chúng ta nâng cả hai mặt của phương trình này lên sức mạnh của #3# chúng tôi nhận được:

# giây ^ 3theta = (sqrt (1 + x ^ 2)) ^ 3 = ((1 + x ^ 2) ^ (1/2)) ^ 3 = (1 + x ^ 2) ^ (3/2) #

Bây giờ, chúng ta có thể thay thế những gì chúng ta đã tính toán thành tích phân vấn đề để biến nó thành tích phân lượng giác:

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = int (bí mật / (secthetacatterycolor (màu đỏ) (giây ^ 2theta)) d theta = int1 / secthetad theta = int1 / (1 / costheta) d theta = intcosthetad theta = sintheta + C #

Bây giờ, chúng ta có thể thay thế trở lại cho # sintheta # và biến câu trả lời của chúng tôi trở lại thành một biểu thức đại số theo # x #:

#color (màu xanh) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #