Chứng minh bằng cảm ứng rằng f (n) = 2 ^ (2n-1) + 3 ^ (2n-1) chia hết cho 5 cho n trong ZZ ^ +?

Câu trả lời:

Xem bên dưới.

Giải trình:

Lưu ý rằng cho # m # lẻ chúng ta có

# (a ^ m + b ^ m) / (a + b) = a ^ (m-1) -a ^ (m-2) b + a ^ (m-3) b ^ 2 + cdots -ab ^ (m -2) + b ^ (m-1) #

trong đó thể hiện sự khẳng định

Bây giờ bằng cảm ứng hữu hạn.

Dành cho #n = 1 #

#2+3 = 5# đó là chia hết.

bây giờ giả sử rằng

# 2 ^ (2n-1) + 3 ^ (2n-1) # là số chia chúng ta có

# 2 ^ (2 (n + 1) -1) + 3 ^ (2 (n + 1) -1) = 2 ^ (2n-1) 2 ^ 2 + 3 ^ (2n-1) 3 ^ 2 = #

# = 2 ^ (2n-1) 2 ^ 2 + 3 ^ (2n-1) 2 ^ 2 + 5 xx 3 ^ (2n-1) = #

# = 2 ^ 2 (2 ^ (2n-1) + 3 ^ (2n-1)) + 5 xx 3 ^ (2n-1) # chia hết cho #5#

vậy là đúng