Làm thế nào để bạn tìm thấy đỉnh của một phương trình bậc hai?

Câu trả lời:

Sử dụng công thức # -b / (2a) # cho tọa độ x và sau đó cắm nó vào để tìm y.

Giải trình:

Một phương trình bậc hai được viết là # ax ^ 2 + bx + c # ở dạng tiêu chuẩn của nó. Và đỉnh có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức # -b / (2a) #.

Ví dụ: giả sử vấn đề của chúng ta là tìm ra đỉnh (x, y) của phương trình bậc hai # x ^ 2 + 2x-3 #.

1) Đánh giá các giá trị a, b và c của bạn. Trong ví dụ này, a = 1, b = 2 và c = -3

2) Cắm các giá trị của bạn vào công thức # -b / (2a) #. Trong ví dụ này, bạn sẽ nhận được #-2/(2*1)# có thể được đơn giản hóa thành -1.

3) Bạn vừa tìm thấy tọa độ x của đỉnh của bạn! Bây giờ cắm -1 cho x trong phương trình để tìm tọa độ y.

4) # (- 1) ^ 2 + 2 (-1) -3 = y #.

5) Sau khi đơn giản hóa phương trình trên, bạn nhận được: 1-2-3 bằng -4.

6) Câu trả lời cuối cùng của bạn là (-1, -4)!

Hy vọng rằng đã giúp.

Câu trả lời:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 # có một đỉnh tại # (- (b) / (2a), - (b ^ 2 - 4ac) / (4a)) #

Giải trình:

Hãy xem xét một biểu thức bậc hai chung:

# f (x) = ax ^ 2 + bx + c = 0 #

và phương trình liên quan của nó #f (x) = 0 #:

# => ax ^ 2 + bx + c = 0 #

Với rễ, # alpha # và # beta #.

Chúng tôi biết (Bằng cách đối xứng - Xem bên dưới để chứng minh) rằng đỉnh (tối đa hoặc tối thiểu) là điểm giữa của hai gốc, # x #- Phối hợp của đỉnh là:

# x_1 = (alpha + beta) / 2 #

Tuy nhiên, nhớ lại các thuộc tính được nghiên cứu tốt:

# {: ("tổng của rễ", = alpha + beta, = -b / a), ("sản phẩm của rễ", = alpha beta, = c / a):} #

Như vậy:

# x_1 = - (b) / (2a) #

Cho chúng tôi:

# f (x_1) = a (- (b) / (2a)) ^ 2 + b (- (b) / (2a)) + c #

# = (b ^ 2) / (4a) - b ^ 2 / (2a) + c #

# = (4ac - b ^ 2) / (4a) #

# = - (b ^ 2 - 4ac) / (4a) #

Như vậy:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 # có một đỉnh tại # (- (b) / (2a), - (b ^ 2 - 4ac) / (4a)) #

Bằng chứng về điểm giữa:

Nếu chúng ta có

# f (x) = ax ^ 2 + bx + c = 0 #

Sau đó, phân biệt wrt # x #:

# f '(x) = 2ax + b #

Tại một điểm quan trọng, đạo hàm đầu tiên, #f '(x) # biến mất, đòi hỏi rằng:

# f '(x) = 0 #

#:. 2ax + b = 0 #

#:. x = -b / (2a) # QED