Vòng tròn A có tâm ở (3, 5) và diện tích 78 pi. Vòng tròn B có tâm ở (1, 2) và diện tích 54 pi. Làm các vòng tròn chồng lên nhau?

Câu trả lời:

Vâng

Giải trình:

Đầu tiên, chúng ta cần khoảng cách giữa hai trung tâm, đó là # D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Trì hoãn) ^ 2) #

# D = sqrt ((5-2) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3,61 #

Bây giờ chúng ta cần tổng bán kính, vì:

#D> (r_1 + r_2); "Vòng kết nối không trùng nhau" #

# D = (r_1 + r_2); "Vòng kết nối chỉ cần chạm" #

#D <(r_1 + r_2); "Vòng kết nối trùng nhau" #

# pir_1 "" ^ 2 = 78pi #

# r_1 "" ^ 2 = 78 #

# r_1 = sqrt78 #

# pir_2 "" ^ 2 = 54pi #

# r_2 "" ^ 2 = 54 #

# r_2 = sqrt54 #

# sqrt78 + sqrt54 = 16.2 #

#16.2>3.61#, do đó các vòng tròn làm chồng chéo.

Bằng chứng:

đồ thị {((x-3) ^ 2 + (y-5) ^ 2-54) ((x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2-78) = 0 -20,33, 19,67, -7,36, 12,64}

Câu trả lời:

Những chồng chéo nếu #sqrt {78} + sqrt {54} ge sqrt {(3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2} = sqrt {13}. #

Chúng ta có thể bỏ qua máy tính và kiểm tra # 4 (13) (54) ge (78-13-54) ^ 2 # hoặc là #4(13)(54) > 11^2# mà nó chắc chắn là vậy, nên có, chồng chéo lên nhau.

Giải trình:

Khu vực vòng tròn là tất nhiên #pi r ^ 2 # Vì vậy, chúng tôi chia ra vô cớ #số Pi#S.

Chúng tôi đã bán kính bình phương

# r_1 ^ 2 = 78 #

# r_2 ^ 2 = 54 #

và bình phương khoảng cách giữa các trung tâm

# d ^ 2 = (3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2 = 13 #

Về cơ bản chúng tôi muốn biết nếu # r_1 + r_2 ge d #, tức là nếu chúng ta có thể tạo ra một hình tam giác trong số hai bán kính và phân đoạn giữa các tâm.

Độ dài bình phương đều là các số nguyên đẹp và thật điên rồ khi tất cả chúng ta đều chạm tới máy tính hoặc máy tính và bắt đầu lấy căn bậc hai.

Chúng tôi không phải làm thế, nhưng nó đòi hỏi một chút đường vòng. Hãy sử dụng công thức của Heron, gọi khu vực # Q #.

# Q = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # Ở đâu # s = (a + b + c) / 2 #

# Q ^ 2 = ((a + b + c) / 2) (((a + b + c) / 2) -a) (((a + b + c) / 2) -b) (((a + b + c) / 2) -c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (a + b + c-2a) (a + b + c-2b) (a + b + c-2c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

Điều đó đã tốt hơn Heron. Nhưng chúng tôi vẫn tiếp tục. Tôi sẽ bỏ qua một số tedium.

# 16Q ^ 2 = 2 a ^ 2 b ^ 2 + 2 a ^ 2 c ^ 2 + 2 b ^ 2 c ^ 2 - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Đó là đối xứng độc đáo, như chúng ta mong đợi cho một công thức diện tích. Chúng ta hãy làm cho nó ít đối xứng hơn. Hồi tưởng

# (c ^ 2 - a ^ 2- b ^ 2) ^ 2 = a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2-2b ^ 2c ^ 2-2a ^ 2c ^ 2 #

Thêm, # 16Q ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 #

Đó là một công thức cho diện tích bình phương của một hình tam giác với độ dài bình phương của các cạnh. Khi cái sau là hợp lý, cái trước cũng vậy.

Hãy thử xem. Chúng tôi tự do chỉ định các bên theo cách chúng tôi thích; để tính toán tay tốt nhất để thực hiện # c # bên lớn nhất, # c ^ 2 = 78 #

# a ^ 2 = 54 #

# b ^ 2 = 13 #

# 16Q ^ 2 = 4 (54) (13) - (78-54-13) ^ 2 = 4 (54) 13 - 11 ^ 2 #

Ngay cả trước khi tính toán nó nữa, chúng ta có thể thấy chúng ta có một tích cực # 16Q ^ 2 # Vì vậy, một tam giác thực với một khu vực tích cực, do đó các vòng tròn chồng chéo.

# 16Q ^ 2 = 2687 #

Nếu chúng ta đã nhận được một giá trị âm, một khu vực tưởng tượng, đó không phải là một tam giác thực, thì các vòng tròn không chồng chéo.