Đạo hàm thứ hai của (f * g) (x) nếu f và g là các hàm sao cho f '(x) = g (x) và g' (x) = f (x)?

Câu trả lời:

# (4f * g) (x) #

Giải trình:

Để cho #P (x) = (f * g) (x) = f (x) g (x) #

Sau đó, sử dụng quy tắc sản phẩm:

#P '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x) #.

Sử dụng điều kiện được đưa ra trong câu hỏi, chúng tôi nhận được:

#P '(x) = (g (x)) ^ 2+ (f (x)) ^ 2 #

Bây giờ sử dụng các quy tắc sức mạnh và chuỗi:

#P '' (x) = 2g (x) g '(x) + 2f (x) f' (x) #.

Áp dụng điều kiện đặc biệt của câu hỏi này một lần nữa, chúng tôi viết:

#P '' (x) = 2g (x) f (x) + 2f (x) g (x) = 4f (x) g (x) = 4 (f * g) (x) #

Câu trả lời:

Một câu trả lời khác trong trường hợp # f * g # có nghĩa là thành phần của # f # và # g #

Giải trình:

Chúng tôi muốn tìm đạo hàm thứ hai của # (f * g) (x) = f (g (x)) #

Chúng tôi phân biệt một lần bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi.

# d / dxf (g (x)) = f '(g (x)) g' (x) = f '(g (x)) f (x) #

Sau đó, chúng tôi phân biệt một lần nữa bằng cách sử dụng các quy tắc chuỗi sản phẩm

# d / dxf '(g (x)) f (x) = f' '(g (x)) g' (x) f (x) + f '(x) f' (g (x)) #

# = f '' (g (x)) f (x) ^ 2 + g (x) f '(g (x)) #