F (x) = int e ^ xcosx-tan ^ 3x + sinx dx là gì nếu f (pi / 6) = 1?

Câu trả lời:

# e ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2 giây ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

Giải trình:

Chúng tôi bắt đầu bằng cách chia tích phân thành ba:

#int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx + int sin (x) dx = #

# = int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx-cos (x) #

Tôi sẽ gọi tích phân bên trái 1 và bên phải tích phân 2

Tích phân 1

Ở đây chúng ta cần tích hợp bởi các bộ phận và một mẹo nhỏ. Công thức tích hợp bởi các bộ phận là:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

Trong trường hợp này, tôi sẽ để #f (x) = e ^ x # và #g '(x) = cos (x) #. Chúng tôi hiểu điều đó

#f '(x) = e ^ x # và #g (x) = sin (x) #.

Điều này làm cho tích phân của chúng tôi:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) dx #

Bây giờ chúng ta có thể áp dụng tích hợp bởi các bộ phận một lần nữa, nhưng lần này với #g '(x) = sin (x) #:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) - (- e ^ xcos (x) - (- int e ^ xcos (x) dx)) #

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) dx #

Bây giờ chúng ta có thể thêm tích phân cho cả hai bên, cho:

# 2int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) #

#int e ^ xcos (x) dx = 1/2 (e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x)) + C = #

# = e ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) + C #

Tích phân 2

Trước tiên chúng ta có thể sử dụng danh tính:

#tan (theta) = sin (theta) / cos (theta) #

Điều này mang lại:

#int tan ^ 3 (x) dx = int sin ^ 3 (x) / cos ^ 3 (x) dx = int (sin (x) sin ^ 2 (x)) / cos ^ 3 (x) dx #

Bây giờ chúng ta có thể sử dụng danh tính pythagore:

# sin ^ 2 (theta) = 1-cos ^ 2 (theta) #

#int (sin (x) (1-cos ^ 2 (x))) / cos ^ 3 (x) dx #

Bây giờ chúng tôi có thể giới thiệu một sự thay thế u với # u = cos (x) #. Chúng tôi sau đó chia theo đạo hàm, # -sin (x) # hòa nhập với # u #:

# -int (hủy (sin (x)) (1-cos ^ 2 (x))) / (hủy (sin (x)) cos ^ 3 (x)) du = -int (1-u ^ 2) / u ^ 3 du = int u ^ 2 / u ^ 3-1 / u ^ 3 du = #

# = int 1 / u-1 / u ^ 3 du = ln | u | + 1 / (2u ^ 2) + C = ln | cos (x) | + 1 / (2cos ^ 2 (x)) + C #

Hoàn thành tích phân ban đầu

Bây giờ chúng ta đã biết Integral 1 và Integral 2, chúng ta có thể cắm chúng trở lại tích phân ban đầu và đơn giản hóa để có câu trả lời cuối cùng:

# e ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2 giây ^ 2 (x) -cos (x) + C #

Bây giờ chúng ta đã biết tính chống đối, chúng ta có thể giải quyết hằng số:

#f (pi / 6) = 1 #

# e ^ (pi / 6) / 2 (sin (pi / 6) + cos (pi / 6)) - ln | cos (pi / 6) | -1 / 2 giây ^ 2 (pi / 6) -cos (pi / 6) + C = 1 #

# -2 / 3-sqrt (3) / 2 + 1/2 (1/2 + sqrt (3) / 2) e ^ (pi / 6) -ln (sqrt (3) / 2) + C = 1 #

# C = 1 + 2/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

# C = 5/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

Điều này cho thấy chức năng của chúng tôi là:

# e ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2 giây ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #