Tìm diện tích của vùng bóng mờ?

Câu trả lời:

Vui lòng xem bên dưới.

Giải trình:

Khi chúng ta lần đầu tiên học cách tìm các khu vực bằng cách tích hợp, chúng ta lấy các hình chữ nhật đại diện theo chiều dọc.

Các hình chữ nhật có cơ sở # dx # (một thay đổi nhỏ trong # x #) và chiều cao bằng với lớn hơn # y # (một trên đường cong trên) trừ đi ít hơn # y # giá trị (một trên đường cong dưới). Sau đó chúng tôi tích hợp từ nhỏ nhất # x # giá trị lớn nhất # x # giá trị.

Đối với vấn đề mới này, chúng ta có thể sử dụng hai nội dung như vậy (Xem câu trả lời của Jim S), nhưng rất có giá trị khi học cách xoay chuyển suy nghĩ của chúng ta #90^@#.

Chúng tôi sẽ lấy hình chữ nhật đại diện một cách khủng khiếp.

Các hình chữ nhật có chiều cao # nhuộm # (một thay đổi nhỏ trong # y #) và cơ sở bằng lớn hơn # x # (một trên đường cong ngoài cùng bên phải) trừ đi ít hơn # x # giá trị (một trên đường cong ngoài cùng bên trái). Sau đó chúng tôi tích hợp từ nhỏ nhất # y # giá trị lớn nhất # y # giá trị.

Lưu ý tính đối ngẫu

# {:("dọc", iff, "ngang"), (dx, iff, dy), ("trên", iff, "ngoài cùng bên phải"), ("dưới", iff, "ngoài cùng bên trái"), (x, iff, y):} #

Cụm từ "từ nhỏ nhất # x # giá trị lớn nhất # x # value. "chỉ ra rằng chúng ta tích hợp từ trái sang phải. (Theo hướng tăng # x # giá trị.)

Cụm từ "từ nhỏ nhất # y # giá trị lớn nhất # y # value. "chỉ ra rằng chúng ta tích hợp từ dưới lên trên. (Theo hướng tăng # y # giá trị.)

Dưới đây là hình ảnh của khu vực với một hình chữ nhật nhỏ được chỉ định:

Khu vực là

# int_1 ^ 2 (y-1 / y ^ 2) dy = 1 #

Câu trả lời:

Khu vực của khu vực bóng mờ là # 1 ^ 2 #

Giải trình:

# x = 1 / y ^ 2 #

# y ^ 2 = 1 / x #

# y = sqrtx / x # (chúng ta có thể nhìn thấy từ biểu đồ)

# sqrtx / x = x # #<=># # x ^ 2 = sqrtx # #<=>#

# x ^ 4-x = 0 # #<=># #x (x ^ 3-1) = 0 # #<=># # x = 1 # (chúng ta cũng có thể nhìn thấy từ biểu đồ)

Một trong nhiều cách có thể biểu thị diện tích của vùng bóng mờ có thể là diện tích của hình tam giác # AhatOB = # không bao gồm khu vực màu lục lam mà tôi sẽ gọi # màu (lục lam) (_3) #

Để cho #Ω_1# là vùng màu đen hiển thị trong biểu đồ và # màu (xanh) (Ω_2) # khu vực màu xanh lá cây được hiển thị trong biểu đồ.

Diện tích tam giác nhỏ # Trò chuyện = # # màu (xanh) (Ω_2) # sẽ là:

• # màu (xanh) (Ω_2) = ## 1/2 * 1 * 1 = 1 / 2m ^ 2 #

# sqrtx / x = 2 # #<=># # sqrtx = 2x # #<=># # x = 4x ^ 2 #

#<=># # x = 1/4 #

Diện tích của #Ω_1# sẽ là:

#int_ (1/4) ^ 1 (2-sqrtx / x) dx = 2 x _ (1/4) ^ 1-2 sqrtx _ (1/4) ^ 1 = #

# 2 (1-1 / 4) -2 (1-sqrt (1/4)) = 6 / 4-2 (1-1 / 2) #

# = 3 / 2-1 = 1 / 2m ^ 2 #

Do đó, khu vực bóng mờ sẽ là

• #Ω_1## + màu (xanh) (Ω_2) ## = 1/2 + 1/2 = 1m ^ 2 #