Làm thế nào để bạn tìm thấy giới hạn của (8x-14) / (sqrt (13x + 49x ^ 2)) khi x tiếp cận oo?

Câu trả lời:

Làm một chút bao thanh toán và hủy bỏ để có được #lim_ (x-> oo) (8x-14) / (sqrt (13x + 49x ^ 2)) = 8/7 #.

Giải trình:

Ở giới hạn vô hạn, chiến lược chung là tận dụng thực tế là #lim_ (x-> oo) 1 / x = 0 #. Thông thường điều đó có nghĩa là bao thanh toán # x #, đó là những gì chúng ta sẽ làm ở đây.

Bắt đầu bằng cách bao thanh toán # x # ra khỏi tử số và một # x ^ 2 # ra khỏi mẫu số:

# (x (8-14 / x)) / (sqrt (x ^ 2 (13 / x + 49))) #

# = (x (8-14 / x)) / (sqrt (x ^ 2) sqrt (13 / x + 49)) #

Vấn đề bây giờ là #sqrt (x ^ 2) #. Nó tương đương với #abs (x) #, đó là một chức năng từng phần:

#abs (x) = {(x, "cho", x> 0), (- x, "cho", x <0):} #

Vì đây là giới hạn ở vô cực dương (#x> 0 #), chúng tôi sẽ thay thế #sqrt (x ^ 2) # với # x #:

# = (x (8-14 / x)) / (xsqrt (13 / x + 49)) #

Bây giờ chúng ta có thể hủy bỏ # x #S:

# = (8-14 / x) / (sqrt (13 / x + 49)) #

Và cuối cùng thấy những gì xảy ra như # x # đi đến # oo #:

# = (8-14 / oo) / (sqrt (13 / oo + 49)) #

Bởi vì #lim_ (x-> oo) 1 / x = 0 #, điều này tương đương với:

# (8-0) / (sqrt (0 + 49)) #

# = 8 / sqrt (49) #

#=8/7#