X ^ 4-4x ^ 3 + x ^ 2 + 4x + 1 = 0. Làm thế nào để giải quyết cho x?

Câu trả lời:

# x = (1 + -sqrt5) / 2, x = (3 + -sqrt13) / 2 #

Giải trình:

Vì bộ tứ này không có gốc hợp lý (và tôi không thể bị làm phiền với các công thức), chúng tôi bắt đầu bằng cách sử dụng phương pháp của Newton để ước tính các gốc:

# x ~ ~ -0.303 #

# x ~ ~ -0.618 #

# x ~ ~ 1.618 #

# x ~ ~ 3.303 #

Trong số này, chúng tôi thấy rằng # x ~ ~ -0.618 # và # x ~ ~ 1.618 # nổi bật. Chúng tôi nhận ra đây là tỷ lệ vàng:

# x = (1 + -sqrt5) / 2 #

Chúng tôi cũng có thể xác minh rằng chúng là gốc bằng cách cắm chúng vào phương trình, nhưng bạn có thể lấy từ của tôi rằng chúng thực sự là gốc.

Điều này có nghĩa là sau đây là một yếu tố của phương trình:

# (x- (1 + sqrt5) / 2) (x- (1-sqrt5) / 2) = #

# = ((x-1/2) + sqrt5 / 2) ((x-1/2) -sqrt5 / 2) = #

# = (x-1/2) ^ 2- (sqrt5 / 2) ^ 2 = x ^ 2-x + 1 / 4-5 / 4 = #

# = x ^ 2-x-1 #

Từ đó, chúng tôi biết # x ^ 2-x-1 # là một yếu tố, chúng ta có thể sử dụng phép chia dài đa thức để tìm ra phần còn lại và viết lại phương trình như sau:

# (x ^ 2-x-1) (x ^ 2-3x-1) = 0 #

Chúng tôi đã tìm ra khi yếu tố bên trái bằng không, vì vậy bây giờ chúng tôi nhìn vào bên phải. Chúng ta có thể giải phương trình bậc hai bằng công thức bậc hai để có được:

# x = (3 + -sqrt13) / 2 #