Làm thế nào để bạn tìm thấy khu vực giới hạn bởi các đường cong y = -4sin (x) và y = sin (2x) trong khoảng thời gian đóng từ 0 đến pi?

Câu trả lời:

Đánh giá

# int_0 ^ π | -4sin (x) -sin (2x) | dx #

Diện tích là: #8#

Giải trình:

Khu vực giữa hai chức năng liên tục #f (x) # và #g (x) # kết thúc #x trong a, b # Là:

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

Vì vậy, chúng ta phải tìm khi #f (x)> g (x) #

Đặt các đường cong là các hàm:

#f (x) = - 4sin (x) #

#g (x) = sin (2x) #

#f (x)> g (x) #

# -4sin (x)> sin (2x) #

Biết rằng #sin (2x) = 2sin (x) cos (x) #

# -4sin (x)> 2sin (x) cos (x) #

Chia cho #2# đó là tích cực:

# -2sin (x)> sin (x) cos (x) #

Chia cho # sinx # mà không đảo ngược dấu hiệu, kể từ khi #sinx> 0 # Cho mọi #x trong (0, π) #

# -2> cos (x) #

Điều này là không thể, vì:

# -1 <= cos (x) <= 1 #

Vì vậy, tuyên bố ban đầu không thể đúng. Vì thế, #f (x) <= g (x) # Cho mọi #x trong 0, π #

Tích phân được tính:

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

# int_0 ^ π (g (x) -f (x)) dx #

# int_0 ^ π (sin (2x) - (- 4sin (x))) dx #

# int_0 ^ π (sin (2x) + 4sin (x)) dx #

# int_0 ^ πsin (2x) dx + 4int_0 ^ πsin (x) #

# -1 / 2 cos (2x) _ 0 ^ π-4 cos (x) _ 0 ^ π #

# -1 / 2 (cos2π-cos0) -4 (cosπ-cos0) #

#1/2*(1-1)-4*(-1-1)#

#8#