Làm thế nào để bạn chuyển đổi r = 1 / (4 - costheta) thành dạng cartesian?

Câu trả lời:

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Giải trình:

Này, Socratic: Có thực sự cần thiết phải nói với chúng tôi điều này đã được hỏi 9 phút trước không? Tôi không thích bị lừa dối. Hãy cho chúng tôi biết nó đã được hỏi hai năm trước và chưa ai có thể làm điều đó. Ngoài ra những gì với các câu hỏi nghi ngờ giống hệt nhau được hỏi từ nhiều nơi? Không thể không nhắc đến Santa Cruz, Hoa Kỳ? Gần như chắc chắn có nhiều hơn một, mặc dù tôi nghe thấy tiếng ở California rất hay. Uy tín và danh tiếng là rất quan trọng, đặc biệt là trong một trang web bài tập về nhà. Đừng lừa dối mọi người. Hết lời.

Khi chuyển đổi phương trình từ tọa độ cực sang hình chữ nhật, lực brute hình chữ nhật sang cực thay thế

#r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #

#theta = văn bản {arctan2} (y "/," x) quad #

hiếm khi là cách tiếp cận tốt nhất. (Tôi cố tình chỉ ra bốn tiếp tuyến nghịch đảo góc phần tư ở đây, nhưng chúng ta không được chuyển hướng.)

Lý tưởng nhất là chúng ta muốn sử dụng các thay thế từ cực đến hình chữ nhật, #x = r cos theta #

# y = r sin theta #

# x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta = r ^ 2 #

OK, hãy nhìn vào câu hỏi.

# r = 1 / {4 - cos theta} #

Các phương trình cực này thường cho phép âm # r #, nhưng ở đây chúng tôi chắc chắn # r # luôn luôn tích cực.

#r (4 - cos theta) = 1 #

Những cái này tôi nghĩ là hình elip, không thực sự quan trọng, nhưng nó cho chúng ta một số ý tưởng về hình dạng hình chữ nhật trông như thế nào. Chúng tôi muốn nhắm đến một cái gì đó mà không có căn bậc hai hoặc arctangents # r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} # có căn bậc hai, nhưng #rcos theta = x # không, vì vậy chúng tôi mở rộng.

# 4r - RCos theta = 1 #

Bây giờ chúng tôi chỉ thay thế; chúng tôi sẽ làm điều đó trong các bước.

# 4r -x = 1 #

# 4r = x + 1 #

Bây giờ hãy vuông. Chúng tôi biết #r> 0. #

# 16 r ^ 2 = (x + 1) ^ 2 #

# 16 (x ^ 2 + y ^ 2) = (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 + 2x + 1 #

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Đây là một hình elip trông khá tròn. (Một hằng số nhỏ hơn #4# trong bản gốc sẽ cho hình elip lập dị hơn.) Chúng ta có thể hoàn thành hình vuông để đặt nó ở dạng chuẩn, nhưng hãy để nó ở đây.