Tại sao căn bậc hai của 5 là một số vô tỷ?

Câu trả lời:

Xem giải thích …

Giải trình:

Dưới đây là bản phác thảo bằng chứng mâu thuẫn:

Giả sử #sqrt (5) = p / q # cho một số số nguyên dương # p # và # q #.

Không mất tính tổng quát, chúng tôi có thể cho rằng #p, q # là những số nhỏ nhất như vậy.

Sau đó, theo định nghĩa:

# 5 = (p / q) ^ 2 = p ^ 2 / q ^ 2 #

Nhân cả hai đầu với # q ^ 2 # để có được:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 #

Vì thế # p ^ 2 # chia hết cho #5#.

Sau đó kể từ #5# là số nguyên tố # p # phải chia hết cho #5# quá.

Vì thế #p = 5m # cho một số nguyên dương # m #.

Vì vậy chúng tôi có:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 = (5m) ^ 2 = 5 * 5 * m ^ 2 #

Chia cả hai đầu cho #5# để có được:

# q ^ 2 = 5 m ^ 2 #

Chia cả hai đầu cho # m ^ 2 # để có được:

# 5 = q ^ 2 / m ^ 2 = (q / m) ^ 2 #

Vì thế #sqrt (5) = q / m #

Hiện nay #p> q> m #, vì thế #q, m # là một cặp số nguyên nhỏ hơn có thương số là #sqrt (5) #, mâu thuẫn với giả thuyết của chúng tôi.

Vì vậy, giả thuyết của chúng tôi rằng #sqrt (5) # có thể được đại diện bởi # p / q # cho một số số nguyên # p # và # q # là sai. Đó là, #sqrt (5) # là không hợp lý. Đó là, #sqrt (5) # là phi lý.