Làm thế nào để bạn tích hợp int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) dx bằng cách sử dụng thay thế lượng giác?

Câu trả lời:

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-sqrt101) / (10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1 + sqrt101)) + C #

Giải trình:

Giải pháp là một chút dài dòng !!!

Từ cho #int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) * dx #

#int 1 / ((sqrt (-1) * sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

Lưu ý rằng # i = sqrt (-1) # số ảo

Đặt số phức đó sang một bên và chuyển sang tích phân

#int 1 / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

bằng cách hoàn thành hình vuông và thực hiện một số nhóm:

#int 1 / (sqrt ((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100-100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100) -100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2-100 + 101))) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2 + 1))) * dx #

Thay thế lượng giác đầu tiên: ##

Góc nhọn # w # với phía đối diện # = e ^ x + 10 # và bên cạnh #=1# với hypotenuse =#sqrt ((e ^ x + 10) ^ 2 + 1) #

Để cho # e ^ x + 10 = tan w #

# e ^ x dx = giây ^ 2 w # # dw #

# dx = (giây ^ 2w * dw) / e ^ x #

và sau đó

# dx = (giây ^ 2w * dw) / tan (w-10) #

Tích phân trở thành

#int 1 / sqrt (tan ^ 2w + 1) * (giây ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sqrt (giây ^ 2w) * (giây ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / giây w * (giây ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int (secw * dw) / (tan w-10) #

từ lượng giác #sec w = 1 / cos w # và #tan w = sin w / cos w #

Tích phân trở thành

#int (1 / cos w * dw) / (sin w / cos w-10) # và

#int (dw) / (sin w-10 cos w) #

Thay thế lượng giác thứ hai:

Để cho # w = 2 tan ^ -1 z #

# dw = 2 * dz / (1 + z ^ 2) #

và cũng # z = tan (w / 2) #

Tam giác vuông: Góc nhọn # w / 2 # với phía đối diện # = z #

Liền kề #=1# và thôi miên # = sqrt (z ^ 2 + 1) #

Từ lượng giác: Nhắc lại các công thức nửa góc

#sin (w / 2) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

# z / sqrt (z ^ 2 + 1) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

giải quyết để #cos w #

#cos w = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) #

Cũng sử dụng danh tính #sin ^ 2w = 1-cos ^ 2w #

nó theo đó

#sin w = (2z) / (1 + z ^ 2) #

tích phân trở thành

#int (dw) / (sin w-10 cos w) = int (2 * dz / (1 + z ^ 2)) / ((2z) / (1 + z ^ 2) -10 * (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2)) #

Đơn giản hóa các kết quả không thể thiếu

#int (2 * dz) / (2z-10 + 10z ^ 2) #

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5-1) #

Bằng cách hoàn thành hình vuông:

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5 + 1 / 100-1 / 100-1) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2-101 / 100) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2- (sqrt101 / 10) ^ 2) #

Sử dụng ngay công thức #int (du) / (u ^ 2-a ^ 2) = 1 / (2a) * ln ((u-a) / (u + a)) + C #

Để cho # u = z + 1/10 # và # a = sqrt101 / 10 # và bao gồm cả # i = sqrt (-1) #

Viết câu trả lời cuối cùng bằng các biến ban đầu

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-sqrt101) / (10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1 + sqrt101)) + C #