Các giải pháp cho (z-1) ^ 3 = 8i là gì?

Câu trả lời:

#z trong {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #

Giải trình:

Đối với vấn đề này, chúng ta sẽ cần biết cách tìm # n ^ "th" # rễ của một số phức. Để làm điều này, chúng tôi sẽ sử dụng danh tính

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Do danh tính này, chúng tôi có thể đại diện cho bất kỳ số phức nào như

# a + bi = Re ^ (itheta) # Ở đâu #R = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # và #theta = arctan (b / a) #

Bây giờ chúng ta sẽ đi qua các bước để tìm # 3 ^ "nd" # gốc của một số phức # a + bi #. Các bước để tìm # n ^ "th" # rễ cũng tương tự.

Được # a + bi = Re ^ (itheta) # chúng tôi đang tìm kiếm tất cả các số phức # z # như vậy mà

# z ^ 3 = Re ^ (itheta) #

Như # z # là một số phức, tồn tại # R_0 # và # theta_0 # như vậy mà

#z = R_0e ^ (itheta_0) #

Sau đó

# z ^ 3 = (R_0e ^ (itheta_0)) ^ 3 = R_0 ^ 3e ^ (3itheta_0) = Re ^ (itheta) #

Từ đây, chúng tôi ngay lập tức có # R_0 = R ^ (1/3) #. Chúng tôi cũng có thể đánh đồng các số mũ của # e #, nhưng lưu ý rằng như sin và cosin là định kỳ với thời gian # 2pi #, sau đó từ danh tính ban đầu, # e ^ (itheta) # cũng sẽ như vậy Sau đó chúng tôi có

# 3itheta_0 = i (theta + 2pik) # Ở đâu #k trong ZZ #

# => theta_0 = (theta + 2pik) / 3 # Ở đâu #k trong ZZ #

Tuy nhiên, như thể chúng ta tiếp tục thêm # 2pi # hết lần này đến lần khác, chúng ta sẽ kết thúc với cùng một giá trị, chúng ta có thể bỏ qua các giá trị dư thừa bằng cách thêm hạn chế # theta_0 trong 0, 2pi) #, đó là, #k trong {0, 1, 2} #

Đặt tất cả lại với nhau, chúng ta có được bộ giải pháp

#z trong {R ^ (1/3) e ^ (itheta / 3), R ^ (1/3) e ^ (i ((theta + 2pi)) / 3), R ^ (1/3) e ^ (i (theta + 4pi) / 3)} #

Chúng tôi có thể chuyển đổi lại thành # a + bi # hình thức nếu muốn sử dụng danh tính

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Áp dụng những điều trên cho vấn đề hiện tại:

# (z-1) ^ 3 = 8i #

# => z-1 = 2i ^ (1/3) #

# => z = 2i ^ (1/3) + 1 #

Sử dụng quy trình trên, chúng ta có thể tìm thấy # 3 ^ "nd" # rễ của #tôi#:

#i = e ^ (ipi / 2) => i ^ (1/3) trong {e ^ (ipi / 6), e ^ (i (5pi) / 6), e ^ (i (3pi) / 2) } #

Áp dụng # e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) # chúng ta có

# i ^ (1/3) trong {sqrt (3) / 2 + i / 2, -sqrt (3) / 2 + i / 2, -i} #

Cuối cùng, chúng tôi thay thế trong các giá trị này cho #z = 2i ^ (1/3) + 1 #

#z trong {2 (sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-i) +1} #

# = {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #