Chứng minh rằng Cot 4x (sin 5 x + sin 3 x) = Cot x (sin 5 x - sin 3 x)?

#sin a + sin b = 2 sin ((a + b) / 2) cos ((a-b) / 2) #

#sin a - sin b = 2 sin ((a-b) / 2) cos ((a + b) / 2) #

Bên phải:

#cot x (sin 5x - sin 3x) = cot x cdot 2 sin ((5x-3x) / 2) cos ((5x + 3x) / 2) #

# = cos x / sin x cdot 2 sin x cos 4x = 2 cos x cos 4x #

Bên trái:

#cot (4x) (sin 5x + sin 3x) = cot (4x) cdot 2 sin ((5x + 3x) / 2) cos ((5x-3x) / 2) #

# = {cos 4x} / {sin 4x} cdot 2 sin 4x cos x = 2 cos x cos 4 x #

Chúng bằng nhau #quad sqrt #

Câu trả lời:

Công thức nhân tố (Nhận dạng Sum-to-Product và Product-to-Sum)

Giải trình:

Đối với câu hỏi này, chúng ta có thể sử dụng Tổng sản phẩm và Tổng sản phẩm danh tính.

Tôi lười biếng, vì vậy đây là một hình ảnh của danh tính.

Công thức tính tổng sản phẩm ở trên có thể được bắt nguồn thông qua nhận dạng góc ghép.

Sử dụng thay thế #alpha = a + b # và #beta = a - b #, chúng ta có thể nhận được các công thức tính tổng sản phẩm sau đây.

Vì vậy, bây giờ chúng ta đã sắp xếp xong, hãy áp dụng các công thức của chúng tôi.

#cot (4x) (sin (5x) + sin (3x)) = cos (4x) / sin (4x) (2 sin ((5x + 3x) / 2) cos ((5x - 3x) / 2)) = cos (4x) / sin (4x) (2sin (4x) cos (x)) = 2cos (4x) cos (x) = cos (x) / sin (x) (2cos (4x) sin (x)) = cot (x) (sin (4x + x) - sin (4x - x)) = cot (x) (sin (5x) - sin (3x)) #

Ngoài ra, bạn cũng có thể áp dụng công thức tính tổng sản phẩm ở phía bên tay phải:

#cot (x) (sin (5x) - sin (3x)) = cos (x) / sin (x) (2 cos ((5x + 3x) / 2) sin ((5x - 3x) / 2)) = cos (x) / sin (x) (2cos (4x) sin (x)) = 2cos (4x) sin (x) = LHS. #

# QED #