Đặt f (x) = x - 1. 1) Xác minh rằng f (x) không chẵn và lẻ. 2) f (x) có thể được viết dưới dạng tổng của hàm chẵn và hàm lẻ không? a) Nếu vậy, trưng bày một giải pháp. Có nhiều giải pháp hơn? b) Nếu không, chứng minh rằng điều đó là không thể.

Để cho #f (x) = | x -1 | #.

Nếu f chẵn thì #f (-x) # sẽ bằng #f (x) # cho tất cả x.

Nếu f là số lẻ thì #f (-x) # sẽ bằng # -f (x) # cho tất cả x.

Quan sát rằng với x = 1

#f (1) = | 0 | = 0 #

#f (-1) = | -2 | = 2 #

Vì 0 không bằng 2 hoặc -2, f không chẵn và lẻ.

Có thể được viết là #g (x) + h (x) #, g là số chẵn và h là số lẻ?

Nếu đó là sự thật thì #g (x) + h (x) = | x - 1 | #. Gọi tuyên bố này 1.

Thay x bằng -x.

#g (-x) + h (-x) = | -x - 1 | #

Vì g là chẵn và h là số lẻ nên chúng ta có:

#g (x) - h (x) = | -x - 1 | # Gọi tuyên bố này 2.

Đặt các câu lệnh 1 và 2 lại với nhau, chúng ta thấy rằng

#g (x) + h (x) = | x - 1 | #

#g (x) - h (x) = | -x - 1 | #

THÊM THÊM để có được

# 2g (x) = | x - 1 | + | -x - 1 | #

#g (x) = (| x - 1 | + | -x - 1 |) / 2 #

Đây thực sự là thậm chí, kể từ khi #g (-x) = (| -x - 1 | + | x - 1 |) / 2 = g (x) #

Từ tuyên bố 1

# (| -x - 1 | + | x - 1 |) / 2 + h (x) = | x - 1 | #

# | -x - 1 | / 2 + | x - 1 | / 2 + h (x) = | x - 1 | #

#h (x) = | x - 1 | / 2 - | -x - 1 | / 2 #

Điều này thực sự kỳ lạ, vì

#h (-x) = | -x - 1 | / 2 - | x - 1 | / 2 = -h (x) #.