Hình chiếu của (i -2j + 3k) lên (3i + 2j - 3k) là gì?

Câu trả lời:

#proj_vec v v u u = (-15 / 11i-10 / 11j + 15 / 11k) #

Giải trình:

Để làm cho việc tham khảo chúng dễ dàng hơn, hãy gọi vectơ đầu tiên #vec u # va thu hai #vec v #. Chúng tôi muốn dự án #vec u # trên #vec v #:

#proj_vec v vec u = ((vec u * vec v) / | | vec v || ^ 2) * vec v #

Đó là, trong các từ, hình chiếu của vectơ #vec u # lên vector #vec v # là tích của hai vectơ, chia cho bình phương chiều dài của #vec v # vectơ lần #vec v #. Lưu ý rằng phần bên trong dấu ngoặc đơn là một vô hướng cho chúng ta biết khoảng cách dọc theo hướng của #vec v # hình chiếu đạt tới.

Đầu tiên, hãy tìm độ dài của #vec v #:

# || vec v | | = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2 + (- 3) ^ 2) = sqrt22 #

Nhưng lưu ý rằng trong biểu thức những gì chúng ta thực sự muốn là # || vec v | | ^ 2 #Vì vậy, nếu chúng ta vuông cả hai bên, chúng ta sẽ nhận được #22#.

Bây giờ chúng ta cần sản phẩm chấm của #vec u # và #vec v #:

#vec u * vec v = (1xx3 + (- 2) xx2 + 3xx (-3)) = (3-4-9) = (-10) #

(để tìm sản phẩm chấm, chúng tôi nhân các hệ số của #i, j và k # và thêm chúng)

Bây giờ chúng tôi có mọi thứ chúng tôi cần:

#proj_vec v vec u = ((vec u * vec v) / || vec v || ^ 2) * vec v = (-10/22) (3i + 2j 3k) #

# = (- 30 / 22i-20 / 22j + 30 / 22k) = (-15 / 11i-10 / 11j + 15 / 11k) #