Làm thế nào để bạn tìm thấy Giới hạn của [(sin x) * (sin ^ 2 x)] / [1 - (cos x)] khi x tiến đến 0?

Câu trả lời:

Thực hiện một số phép nhân liên hợp và đơn giản hóa để có được #lim_ (x-> 0) (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) = 0 #

Giải trình:

Thay thế trực tiếp tạo ra hình thức không xác định #0/0#, vì vậy chúng tôi sẽ phải thử một cái gì đó khác.

Hãy thử nhân lên # (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) # bởi # (1 + cosx) / (1 + cosx) #:

# (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) * (1 + cosx) / (1 + cosx) #

# = (sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / ((1-cosx) (1 + cosx)) #

# = (sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / (1-cos ^ 2x) #

Kỹ thuật này được gọi là phép nhân liên hợp, và nó hoạt động gần như mọi lúc. Ý tưởng là sử dụng sự khác biệt của tài sản hình vuông # (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 # để đơn giản hóa tử số hoặc mẫu số (trong trường hợp này là mẫu số).

Nhớ lại rằng # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, hoặc là # sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. Do đó, chúng ta có thể thay thế mẫu số, đó là # 1-cos ^ 2x #, với # tội ^ 2x #:

# ((sinx) (sin ^ 2x) (1 + cosx)) / (sin ^ 2x) #

Bây giờ # tội ^ 2x # hủy bỏ:

# ((sinx) (hủy (sin ^ 2x)) (1 + cosx)) / (hủy (sin ^ 2x)) #

# = (sinx) (1 + cosx) #

Kết thúc bằng cách lấy giới hạn của biểu thức này:

#lim_ (x-> 0) (sinx) (1 + cosx) #

# = lim_ (x-> 0) (sinx) lim_ (x-> 0) (1 + cosx) #

#=(0)(2)#

#=0#